Bài 13 trang 106 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) có các dây \(AB\) và \(CD\) bằng nhau, các tia \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\) nằm bên ngoài đường tròn. Gọi \(H\) và \(K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng:

a) \(EH = EK\)

b) \(EA = EC\).

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng các tính chất sau: Trong một đường tròn

+) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(HA=HB\)  nên  \(OH\perp AB\). (ĐLí 2 - trang 103)

Vì \(KC=KD\)  nên  \(OK\perp CD\). (ĐLí 2 - trang 103)

Mặt khác, \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét \(\Delta HOE\) và \(\Delta KOE\) có:

\(OH=OK\)

\(EO\) chung

\(\widehat{EHO}=\widehat{EKO}\)

Suy ra \(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra \(EH=EK (1)\) 

b) Theo giả thiết, \(AB=CD\) nên \(\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}\) hay \(AH=KC\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EH+HA=EK+KC\)  

hay  \(EA=EC.\)