Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

a) $\int_1^{{e^4}} {\sqrt x } \ln xdx$

b) $\int_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}}$

c) $\int_0^\pi  {(\pi  - x)\sin {\rm{x}}dx}$

d) $\int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx$

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

+) Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân.

+) Sử dụng công thức tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {u\left( x \right)dv\left( x \right)}  = \left. {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)du\left( x \right).}$

Lời giải chi tiết

a) Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \sqrt x dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^{{e^4}} {\sqrt x \ln xdx} = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x} \right|_1^{{e^4}} - \int\limits_1^{{e^4}} {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}.\frac{1}{x}dx} \\ = \frac{8}{3}{e^6} - \int\limits_1^{{e^4}} {\frac{2}{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{8}{3}{e^6} - \left. {\frac{2}{3}.\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^{{e^4}}\\ = \frac{8}{3}{e^6} - \frac{4}{9}{e^6} + \frac{4}{9}= \frac{20}{9}{e^6}+ \frac{4}{9}. \end{array}$

b) Ta có: 

$\eqalign{ & \int_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{xdx} \over {{{\sin }^2}x}}} = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {xd( - \cot x) = - x\cot x\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right.} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {\cot xdx} \cr & = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}} {{{d\sin x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln |sinx|\left| {_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 2}}} \right. = {{\pi \sqrt 3 } \over 6} + \ln 2 \cr}$

 c) Ta có: 

$\eqalign{ & \int_0^\pi {(\pi - x)\sin {\rm{x}}dx} = \int\limits_0^\pi {(\pi - x)d( - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} )} \cr & = - (\pi - x)cosx\left| {_0^\pi } \right. + \int\limits_0^\pi {{\mathop{\rm cosxd}\nolimits} (\pi - x) = \pi - s{\rm{inx}}\left| {_0^\pi } \right.} = \pi \cr}$

 d) Ta có: 

$\eqalign{ & \int_{ - 1}^0 {(2x + 3){e^{ - x}}} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {(2x + 3)d( - {e^{ - x}}} ) \cr & = (2x + 3){e^{ - x}}\left| {_0^{ - 1}} \right. + \int\limits_{ - 1}^e {{e^{ - x}}} .2dx = e - 3 + 2{e^{ - x}}\left| {_0^1} \right. = 3e - 5 \cr}$