Bài 5 trang 146 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số: \(y = {x^4} + a{x^2} + b.\)

a) Tính \(a,\, b\) để hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi \(x = 1.\)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho khi \(a = {{ - 1} \over 2}, \, \,b = 1.\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại các điểm có tung độ bằng \(1.\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực trị tại điểm \(x=x_0 \Leftrightarrow x_0\) là nghiệm của của phương trình \(y'=0.\)

+) Điểm cực trị thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của điểm đó thỏa mãn công thức hàm số. 

+) Từ hai điều trên ta có hệ phương trình hai ẩn \(a, \, b.\) Giải hệ phương trình ta tìm được \(a, \, b.\)

 b) Với các giá trị cho trước của \(a\) và \(b\) ta thay vào hàm số và khảo sát, vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã học.

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x=x_0\) có công thức: \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 4{x^3} + 2ax.\)

a) Nếu hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi \(x = 1\) thì: ta có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {1;\;\frac{3}{2}} \right)\) và có \(y'\left( 1 \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y'(1) = 0 \hfill \cr
y(1) = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

b) Khi \(a = {{ - 1} \over 2},b = 1\) ta có hàm số: \(y = {x^4} - {1 \over 2}{x^2} + 1\)

_ Tập xác định: \((-∞; +∞).\)

_ Sự biến thiên: \(y' = 4{x^3} - x = x\left( {4{x^2} - 1} \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
4{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \frac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Trên các khoảng \(({{ - 1} \over 2};0)\) và \(({1 \over 2}\; + \infty )\) có \( y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng \(( - \infty ; {{ - 1} \over 2}) \) và \( (0;{1 \over 2})\) có \( y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0;\;\;{y_{CD}} = 1.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm {1 \over 2}; \,{y_{CT}} = {{15} \over {16}}.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(y = 1\), không cắt trục hoành.

c) Với \(y = 1\) ta có phương trình:

 \({x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\)

Trên đồ thị có 3 điểm với tung độ bằng 1 là:

 \({M_1}({{ - 1} \over {\sqrt 2 }}; \, 1);{M_2}(0; \, 1);{M_3}({1 \over {\sqrt 2 }}; \, 1)\)

Ta có \(y’(0) = 0\) nên tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(M_2\) có phương trình là \(y = 1.\)

Lại có:

\(y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {1 \over {\sqrt 2 }};y'({-1 \over {\sqrt 2 }}) = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_1}\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right)\) là: \(y =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 1 =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}x + \frac{1}{2}.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({M_2}\left( {  \frac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right)\) là: \(y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + 1 = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x + \frac{1}{2}.\)