Bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12

Đề bài

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = 4^x\);

b) \(y= \left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\).

Hướng dẫn giải

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính y', tìm các điểm mà tại đó y' bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu y' và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số \(y = 4^x\) 

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y' = {4^x}\ln 4 > 0,\forall x \in \mathbb R\)

- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

- Giới hạn đặc biệt:

   \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

Tiệm cận ngang: \(y=0\).

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm \((0;1)\), đi qua điểm \((1;4)\) và qua các điểm \((\frac{1}{2}; 2)\), \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\), \((-1; \frac{1}{4})\).

b) Đồ thị hàm số \(y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\) 

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y' = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}.\ln \left( {\frac{1}{4}} \right) =  - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\ln 4 < 0\,\,\forall x \in R\)

- Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

- Giới hạn:

  \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \)

Tiệm cận ngang \(y=0\)

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị: 

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm (0; 1), đi qua điểm (1; \(\frac{1}{4}\)) và qua các điểm (\(-\frac{1}{2}\); 2), (-1;4).