Tổng hợp lý thuyết chuẩn nhất về hệ trục tọa độ - Toán lớp 10

Ở trong bài biết này, Cunghocvui gửi đến bạn học kiến thức lý thuyết chính xác nhất về hệ trục tọa độ như trục tung trục hoành (hoành độ) trong mặt phẳng tọa độ, phương pháp tọa độ trong không gian, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, hệ trục tọa độ oxyz (hay hệ tọa độ trong không gian).

I) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1) Định nghĩa

- Hệ trục tọa độ Oxy gồm hai trục hoành và trục tung vuông góc với nhau.

Trong đó

• O: gốc tọa độ
• Ox: trục hoành (hay hoành độ)
• Oy: trục tung (hay tụng độ)

- Đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vecto đơn vị thì được gọi là trục tọa độ.

2) Nhận xét

\(\underset{a}{\rightarrow}= (x;y)= \underset{b}{\rightarrow}= (x'; y')\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=x' & \\ y=y' & \end{matrix}\right.\)

3) Các biểu thức tọa độ của vecto

Cho hai vecto: \(\underset{a}{\rightarrow}=(x;y)\), \(\underset{b}{\rightarrow}=(x';y')\). Ta có:

• \(\underset{a}{\rightarrow} + \underset{b}{\rightarrow} = (x+x'; y+y')\); \(\underset{a}{\rightarrow} - \underset{b}{\rightarrow} = (x-x'; y-y')\)
• \(k.\underset{a}{\rightarrow}= (kx; ky) \forall k\in \mathbb{R}\)
• \(\underset{b}{\rightarrow}\) cùng phương với \(\underset{a}{\rightarrow}\) khi và chỉ khi có số k, sao cho \(x' =kx, y' = ky\)

4) Một số phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tọa độ oxy

a) Vecto chỉ phương (VTCP) của đường thẳng

\(\underset{u}{\rightarrow} = (u_1; u_2)\)  là VTCP của đường thẳng \(\Delta\) thì:

• \(u \neq 0\)
• \(\underset{u}{\rightarrow} // (\equiv) \Delta\) (song song hoặc trùng)
• \(k.\underset{u}{\rightarrow} (k\neq 0)\) là VTPT của \(\Delta\)

b) Vecto pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng: 

\(\underset{n}{\rightarrow} (n_1; n_2)\) là VTPT của \(\Delta\) thì:

• \(\underset{n}{\rightarrow}\neq \underset{0}{\rightarrow}\)
• \(\underset{n}{\rightarrow}\) có giá vuông góc với \(\Delta\)
• \(k.\underset{n}{\rightarrow} (k\neq 0)\) là VTPT của \(\Delta\)

c) Phương trình đường thẳng

- Phương trình tổng quát: \(\Delta: Ax + By + C = 0 (A^2 + B^2 \neq 0)\)

- Phương trình tham số: qua điểm \(M(x_0; y_0)\) có VTCP \(\underset{u}{\rightarrow} = (u_1; u_2)\) có dạng:

\(\Delta: \left\{\begin{matrix}x=x_0+u_1 & \\ y=y_0+u_2 & \end{matrix}\right.\) (với \(u_1^2 + u_2^2 \neq0, t \in R\))

- Phương trình chính tắc: qua \(M(x_0; y_0), \) VTCP \(\underset{u}{\rightarrow} = (u_1; u_2)\) có dạng:

\(\dfrac {x-x_0}{u_1}= \dfrac {y-y_0}{u_2} (u_1 \neq 0, u_2\neq 0)\)

♦ Lưu ý: \(u_1, u_2 = 0\) thì phương trình không có phương trình chính tắc

II) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxyz

1) Định nghĩa

Hệ trục mà gồm có 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau thì được gọi là hệ trục tọa độ oxyz

Trong đó

• Ox là trục hoành (hay hoành độ)
• Oy là trục tung (hay tung độ)
• Oz là trục cao (hay cao độ)

2) Tọa độ điểm

Cho điểm M nằm trong hệ trục tọa độ oxyz, tọa độ của điểm M là (a; b; c)

- Với điểm M nằm trên các trục tọa độ

• \(M \in Ox => M (a; 0; 0)\)
• \(M \in Oy => M (0; b; 0)\)
• \(M \in Oz => M (0; 0; c)\)

- Với điểm M nằm trên mặt phẳng tọa độ

• M nằm trên Oxy  thì M (a; b; 0)
• M nằm trên Oyz thì M (0; b; c)
• M nằm trên Oxz thì M (a; 0; c)

3) Một số phương pháp tọa độ trong không gian

- Tọa độ của điểm: \(\underset{OM}{\rightarrow}=x.\underset{i}{\rightarrow} + y.\underset{j}{\rightarrow} + z.\underset{k}{\rightarrow} \Leftrightarrow M(x; y; z)\)

- Tọa độ của vecto: \(\underset{a}{\rightarrow}=a_1.\underset{i}{\rightarrow} + a_2.\underset{j}{\rightarrow} + a_3.\underset{k}{\rightarrow} \Leftrightarrow \underset{a}{\rightarrow} = (a_1; a_2; a_3)\)

- Tính chất

Cho \(\underset{a}{\rightarrow} = (x_1; y_1; z_1), \underset{b}{\rightarrow} = (x_2; y_2; z_2)\) với số k bất kì thì ta có:

• Tổng 2 vecto là 1 vecto: \(\underset{a}{\rightarrow} + \underset{b}{\rightarrow} = (x_1 + x_2; y_1+y_2; z_1 + z_2)\)
• Hiệu 2 vecto là 1 vecto: \(\underset{a}{\rightarrow} - \underset{b}{\rightarrow} = (x_1 -x_2; y_1-y_2; z_1 - z_2)\)
• Tích của vecto với một số thực là 1 vecto: \(k.\underset{a}{\rightarrow}= k.(x_1; y_1; z_1) = (kx_1; ky_1;kz_1)\)
• Độ dài vecto: \(\left | \underset{a}{\rightarrow} \right | = \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)
• Vecto không: \(\underset{0}{\rightarrow} = (0; 0; 0)\)
• Hai vecto bằng nhau thì tọa độ tương ứng bằng nhau
• Tích vô hướng: \(\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} = x_1.x_2 + y_1.y_2+z_1.z_2\)
• Góc giữa hai vecto: \(cos (\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow} )= \dfrac {\underset{a}{\rightarrow}.\underset{b}{\rightarrow}}{\left | \underset{a}{\rightarrow} \right |.\left | \underset{b}{\rightarrow} \right |} = \dfrac {x_1.x_2+y_1.y_2+z_1.z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\)

Xem thêm >>> Hướng dẫn giải bài tập SGK

Trên đây là những kiến thức lý thuyết và phương pháp tọa độ trong không gian, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mà bạn cần nắm được mà Cunghocvui đã tổng hợp được. Hy vọng bài viết có thể giúp ích được nhiều cho bạn trong quá trình học tập, chúc bạn học tập tốt <3