Kiến thức cần nhớ về khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cunghocvui gửi đến bạn những kiến thức cần nhớ về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình toán lớp 11. Bài viết cũng đề cập đến những vấn đề liên quan như góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau và bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

I) Tìm hiểu chung

1) Khái niệm

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

- Kí hiệu: \(d (a,b) = MN\)

Trong đó

• \(M \in a,N\), \(N \in b\)
• \(MN \perp a, MN \perp b\)

2) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo trong mặt phẳng song song

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

- Kí hiệu: \(d (a,b) = d(a, (Q)) = d(b, (P)) = d ((P),(Q))\)

Trong đó

• \((P) , (Q)\) là 2 mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a,b
• \((P) // (Q)\)

II) Phương pháp giải bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để giải bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách như sau

1) Phương pháp 1

Dựa đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a, b) = MN. Dưới đây là một số trường hợp hay gặp khi ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

a) Trường hợp 1: a và b vừa chéo vừa vuông góc với nhau.

- Bước 1: Chọn mặt phẳng \((\alpha)\) chưa b và vuông góc với a tại \(I\)

- Bước 2: Trong mặt phẳng \((\alpha)\) kẻ \(IJ \perp b\)

Khi đó \(IJ\) là đoạn vuông góc chung, \(d (a,b) = IJ\)

b) Trường hợp 2: a và b chéo nhau, không vuông góc nhau.

- Bước 1: Chọn \((\alpha \perp a)\) tại \(I\)

- Bước 2: Tìm hình chiều \(d\) của b xuống mặt phẳng \((\alpha)\)

- Bước 3: Trong mặt phẳng \((\alpha)\) dựng \(IJ \perp d\), từ \(J\) ta dựng đường thẳng song song với a cắt b tại H, từ H dựng \(HM//IJ\).

Khi đó \(HM\) là đoạn vuông góc chung, \(d (a, b) = HM = IJ\)

2) Phương pháp 2

Chọn mặt phẳng \((\alpha)\) chứa đường thẳng a và song sóng với b.

Khi đó  \(d (a, b) = d(b, (\alpha))\)

3) Phương pháp 3

Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

4) Phương pháp 4

Sử dụng phương pháp vecto

a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

• \(\vec {AM} = x \vec{AB}\)
• \(\vec {CN} = y \vec {CD}\)
• \(\vec {MN}. \vec {AB} = 0\)
• \(\vec {MN}. \vec {CD} = 0\)

b) Trong \((\alpha)\) có 2 vecto không cùng phương \(\vec {u_1}, \vec{u_2}\) thì \(OH = d(O, (\alpha))\) khi và chỉ khi

• \(\vec {OH}.\vec {u_1} = 0\)
• \(\vec {OH}.\vec {u_2} = 0\)
• \(H \in (\alpha)\)

III) Xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Gọi lần lượt hai đường thẳng chéo nhau là a và b

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, ta sử dụng các cách sau

1) Cách 1

Ta chọn hai đường thẳng cắt nhau a' và b' lần lượt song song với a và b.

Khi đó  \(\widehat{a, b} = \widehat{a', b'}\)

2) Cách 2

Chọn một điểm A bất kì thuộc a, từ đó kẻ một đường thẳng b' qua A và song song với b.

Khi đó \(\widehat{a, b} = \widehat{a, b'}\)

IV) Luyện tập

Dưới đây là một số bài tập khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau mà Cunghocvui sưu tầm, tổng hợp được.

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =\(a\sqrt{3}\) và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Đáp án:

\(cos (\widehat{SM, ND}) = \dfrac {\dfrac{a}{\sqrt{5}}}{a}\)

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và \(SC = a\sqrt{2}\). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

1) Chứng minh \(SH \perp (ABCD), AC \perp (SHK)\)

2) Tính số đo góc giữa SC với mặt phẳng (SHD)

Hướng dẫn:

1) SB = BC = a ⇒ \(SC ^2 = SB^2 + BC^2\)

Suy ra, \(\Delta SBC \perp B\)

\(CB \perp (SAB) \) ⇒ \(CS \perp SH\), mặt khác \(SH \perp AB\) ⇒ \(SH \perp (ABCD) \)

Ta có: \(HK // BD \) ⇒ \(HK \perp AC\)

Suy ra \(AC \perp (SHK)\)

2) \(cos ( \widehat{CSI}) = \dfrac {SI}{SC}= \dfrac {\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)

Xem thêm>>> Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

                        Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức bạn cần có về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà Cunghocvui muốn gửi đến bạn. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập, chúc bạn học tập tốt <3