Hình học 11 Bài 8 Phép đồng dạng lớp 11

Hình học 11 Bài 8 Phép đồng dạng lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết Toán hình 11 bài 8 phép đồng dạng!

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa:

Là một dạng đặc biệt của phép biến hình, được hiểu là phép đồng dạng với tỷ số cố định k (điều kiện k>0) trong đó ảnh của hai điểm M, N lần lượt là M' và N' ta có được tỷ lệ thỏa  mãn M'N'=MN.

Mọi phép đồng dạng F với tỷ lệ k>0 đều cho ra định luật về một phép dời hình D và một phép vị tự cũng với tỷ số k.

2. Hệ quả:

- Luôn bảo toàn tỉ số đồng dạng, biến ba điểm ban đầu với điều kiện thẳng hàng thành ba điểm mới vẫn duy trì thẳng hàng.

- Biến đường thẳng ban đầu thành một đường mới bằng hoàn toàn.

- Một tia ban đầu thành tia mới bằng với tia cũ.

- Phép đồng dạng biến một đoạn thẳng ban đầu thành một đoạn mới với độ dài bằng đoạn đầu nhân với tỷ số k bất kỳ.

- Tạo ra một tam giác mới đồng dạng với tam giác gốc và tỷ lệ đồng dạng là k bất kỳ.

- Tạo ra một đường tròn mới với bán kính R'=k.R với R là bán kính của hình tròn gốc.

- Tạo ra một góc bằng hoàn toàn góc cũ.

Định lý: Hai hình được cho là đồng dạng với nhau khi và chỉ khi nếu có áp dụng phương pháp đồng dạng để tạo ra một hình mới từ một hình cũ.

3. Các phép đồng dạng thường gặp

Bao gồm một số phép dời hình đặc trưng như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất hay phép quay và phép vị tự.

Đặc biệt ta sẽ tạo ra các hình đồng dạng tương tự khi áp dụng liên tiếp các phép đồng dạng từ 1 hình ban đầu.

Giải bài tập về phép đồng dạng

II. Bài tập phép đồng dạng lớp 11

Bài 1. Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A,B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.

Lời giải:

Ta thấy góc lượng giác \((CA,CB)=-45^0 \ và \ \dfrac{CB}{CA}=\sqrt 2\) . Do đó có thể xem xét thêm với B là ảnh của A khi áp dụng phép đồng dạng F thì ta có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C một góc quay là 45 độ và phép vị tự \(V_{(C, \sqrt 2)}\).

Vì \(a\in a \Rightarrow B\in a'' \ lại \ có \ B\in b \ nên \ B= \ giao \ của \ a''\&b\).

Bài 2: Cho tam giác ABC , dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BCA',CAB',ABC' . Gọi \(O_1O_2O_3\) lần lượt là tâm của ba tam giác đều BCA',CAB',ABC' . Chứng minh tam giác \(O_1O_2O_3\) là tam giác đều.

Lời giải:

Để chứng minh tam giác \(O_1O_2O_3\) là tam giác đều ta xét các phép đồng dạng sau:

Ký hiệu như sau \(F(I, \phi; k)=V_{(I;k)}.Q_{(I; \phi)}\) là phép đồng dạng có được bằng cách tực hiện liên liếp phép quay \(Q_{(I; \phi)}\) và phép vị tự \(V_{(I;k)}\) .

Ta xét các phép đồng dạng:

\(F_1=F(C,30^0;\sqrt 3) \ và \ F_2(b;30^0;\dfrac{1}{\sqrt 3})\) gọi I, J, K, H là các điểm trên \(CA', CA, BA', BO_3,BO_1\) sao cho \(CI=CO_1;CJ=CO_2,BK=BO_1;BH=AB;BE=BA'\) khi đó:

\(F_1(O_2)=V_{(C;\sqrt 3)}.Q_{(C; 30)}.(O_1)=V_{(C;\sqrt 3)}(I)=A'\)

Tương tự:

- \(F_1(O_2)=V_{(C;\sqrt 3)}.Q_{(C;30^0)}(O_2)=V_{(C;\sqrt 3)}(J)=A\)

- \(F_2(A')=V_{(B;{\dfrac{1}{\sqrt3}})}.Q_{(B;30^0)}(A')=V_{(B;{\dfrac{1}{\sqrt3}})}(E)=O_1\)

- \(F_2(A)=V_{(B;{\dfrac{1}{\sqrt3}})}.Q_{(B;30^0)}(A)=V_{(B;{\dfrac{1}{\sqrt3}})}(H)=O_3\)

Vậy \(F_2.F_1(O_2)=F_2(A)=O_3\) và \(F_2.F_1(O_1)=F_2(A')=O_1\)

Mặt khác \(F=F_1.F_2\)là phép đồng dạng có tỷ số \(k=k_1.k_2=\sqrt3\)\(\sqrt{\dfrac{1}{3}}=1\) và \(\phi _1 +\phi_2=30^0+30^0=60^0\)nên F chính là phép quay tâm \(O_1\) góc quay 60 độ.

Do đó, \(Q_{(O_1;60^0)}(O_2)=O_3\) nên tam giác \(O_1O_2O_3\) đều (đpcm).

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về lý thuyết phép đồng dạng trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!