Câu 43 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 43. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

U₁ = 1 và u_{n + 1} = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải

a. Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), suy ra với mọi n ≥ 1, ta có :

\({u_{n + 1}} + 2 = 5\left( {{u_n} + 2} \right)\,hay \,\,{v_{n + 1}} = 5{u_n}\)

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {\rm{ }}{u_1} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}3\) và công bội q = 5.

Số hạng tổng quát : \({v_n} = {\rm{ }}{3.5^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\)

b. \({u_n} = {v_n} - 2 = {3.5^{n - 1}} - 2\) với mọi \(n ≥ 1\)