Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 17. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh \(u_n= 1\)  (1) \(∀ n \in \mathbb N^*\) bằng qui nạp

+) Rõ ràng (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có \(u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\)