Câu 15 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 15. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi \(n ≥ 1\).

a. Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

b. Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

b. Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 = 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).