Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\) ;

b. Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu u_n+1 – u_n.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7 - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.