Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 14. Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với

\({u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\)

Là một dãy số giảm và bị chặn.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} = {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {5 \over 3}\left( {{1 \over {3n + 5}} - {1 \over {3n + 2}}} \right) < 0 \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n} \cr} \)

\(⇒ (u_n)\) là dãy số giảm

Ta lại có  \(0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.