Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10
Đề bài
Cho ba điểm A(4;3),B(2;7),C(−3;−8)
a) Tìm tọa độ điểm G , trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm T là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T,G,H thẳng hàng.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi G(xG;yG) là trọng tâm tam giác ΔABC. Khi đó ta có:
xG=xA+xB+xC3⇒xG=4+2−33=1yG=yA+yB+yC3⇒yG=3+7−83=23
Vậy G(1;23)
Gọi (x;y) là tọa độ của H
→AH=(x−4;y−3);→BC=(−5;−15)→BH=(x−2;y−7);→AC=(−7;−11)→AH⊥→BC⇔→AH.→BC=0⇔−5(x−4)−15(y−3)=0⇔x+y−13=0→BH⊥→AC⇔→BH.→AC=0⇔−7(x−2)−11(y−7)=0⇔7x+11y−91=0
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
{x+y−13=07x+11y−91=0⇒H(13;0)
b) Tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
TA=TB=TC⇒TA2=TB2=TC2, cho ta:
(x−4)2+(y−3)2=(x−2)2+(y−7)2⇔x−2y+7=0
(x−4)2+(y−3)2=(x+3)2+(y+8)2⇔7x+11y+24=0
Do đó tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC) là nghiệm của hệ:
{x−2y+7=07x+11y+24=0⇒T(−5;1)
Ta có: →TH=(−18;1);→TG=(6;−13)
Ta có: →TH=3→TG
Vậy ba điểm H,G,T thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm T(−5;1), bán kính R=AT=√85
R2=AT2=(−5−4)2+(1−3)2=85
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
(x+5)2+(y–1)2=85