Bài 5 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau :

a) \(\overrightarrow a  = (2; -3) ,\)  \(\overrightarrow b = (6, 4);\)

b)  \(\overrightarrow a  = (3; 2),\) \(\overrightarrow b = (5, -1);\)

c)  \(\overrightarrow a  = (-2; -2\sqrt3)\), \(\overrightarrow b = (3; \sqrt3)\);

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {{x_1}{x_2} + y{  _1}{y_2}} \right|}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.6 + \left( { - 3} \right).4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b\) hay \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}\)

b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.5 + 2\left( { - 1} \right) = 13\)

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {9 + 4} = \sqrt {13} ,\\  \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {25 + 1} = \sqrt {26} .\\
\Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \frac{{13}}{{\sqrt {13} .\sqrt {26} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\\
\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = {45^0}.
\end{array}\)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2.3 + \left( { - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 3  = -12\)

\(\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {4 + 12} = 4,\\  \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {9 + 3} = 2\sqrt 3 .\\
\Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 12}}{{4.2\sqrt 3 }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}.\\
\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = {150^0}.
\end{array}\)