Bài 5 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y =|x|$ ;                       b) $y =x+{4\over x}$ $( x > 0)$.

Hướng dẫn giải

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ a;\ b \right]$ ta làm như sau :

+) Tìm các điểm ${{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}$ thuộc đoạn $\left[ a;\ b \right]$ mà tại đó hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)=0$ hoặc không có đạo hàm.

+) Tính $f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)$ và $f\left( a \right);\ f\left( b \right).$

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$ và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;\ b \right]$.

$\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}$

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số $y=f\left( x \right).$

Lời giải chi tiết

a) $y=\left| x \right|.$

Ta có: 

$y = |x| = \left\{ \begin{gathered} x\text{ nếu }x \geqslant 0 \hfill \\ - x\text{ nếu }x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tập xác định: $D=\mathbb R.$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt GTNN tại $x=0;{\min }\,y=0.$

b) $y=x+\dfrac{4}{x}\ \ \ \left( x>0 \right).$

Ta có: $y'=1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}$

$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-2\notin \left( 0;+\infty  \right) \\ & x=2\in \left( 0;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{Min}}\,y=4\ \ khi\ \ x=2.$