Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\) ;

    b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);

    c) \(y = {{2 - x} \over {1 - x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);

    d) \(y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Hướng dẫn giải

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\)

+) Xét \(D=\left[ -4;\ 4 \right]\) có :

\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{align} \right..\)

Ta có : \(y\left( -4 \right)=-41;\ \ y\left( 1 \right)=40;\ \ y\left( 3 \right)=8;\ \ y\left( 4 \right)=15.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=-1\) và \(\underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-41\ \ khi\ \ x=-4.\)

+) Xét \(D=\left[ 0;\ 5 \right]\) có:

\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{align} \right..\)

Ta có : \(y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;\ \ y\left( 5 \right)=40.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=5\) và \(\underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\ \ khi\ \ x=3.\)

b) \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\)

Ta có:\(y'=4{{x}^{3}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right.\)

+) Xét \(D=\left[ 0;\ 3 \right]\) có: \(x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.\)

Có: \(y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;\ \ y\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\frac{1}{4}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\frac{\sqrt{6}}{2}\)  và \(\underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=56\ \ khi\ \ x=3.\)

+) Xét \(D=\left[ 2;\ 5 \right]\) ta thấy \(x=0;\ \ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.\)

Có \(y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\ \ khi\ \ x=2\)  và \(\underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=525\ \ khi\ \ x=5.\)

c) \(y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}\). Tập xác định: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)  

Ta có: \(y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.\)

+) Với \(D=\left[ 2;\ 4 \right]\) có: \(y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\frac{2}{3}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0\ \ khi\ \ x=2\)  và \(\underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.\)

+) Với \(D=\left[ -3;\ -2 \right]\) có: \(y\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\frac{4}{3}.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3\)  và \(\underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.\)

d) \(y=\sqrt{5-4x}\) . Tập xác định: \(\left( -\infty ;\ \frac{5}{4} \right].\)

Xét tập \(D=\left[ -1;\ 1 \right]:\)

Có: \(y'=\frac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].\)

Ta có: \(y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.\)

Vậy \(\underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=1\ \ khi\ \ x=1\)  và \(\underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=3\ \ khi\ \ x=-1.\)