Bài 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi \(16 cm\), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.

+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: \(P=2\left( x+y \right).\)

+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy.\)

Biểu diễn chiều dài theo chiều rộng bởi hàm số \(y=f\left( x \right)\). Sau đó tìm chiều rộng để diện tích của hình chữ nhật đó lớn nhất bằng cách xét hàm số \(S\left( x \right)\). Từ đó ta tìm được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.  

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là  \(x;\ y\ \left( cm \right),\left( 0< x; y < 8 \right).\)

Theo đề bài ta có chu vi của hình chữ nhật là \(16cm.\)

Khi đó ta có: \(2\left( x+y \right)=16\Leftrightarrow x+y=8\Leftrightarrow y=8-x.\)

\(\Rightarrow \) Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(S=xy=x\left( 8-x \right)=8x-{{x}^{2}}.\)

Xét hàm số: \(S\left( x \right)=8x-{{x}^{2}}\) trên \(\left( 0;\ \ 8 \right)\) ta có:

\(S'\left( x \right)=8-2x\Rightarrow S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4.\)

Ta có: \(S\left( 0 \right)=0;\ \ S\left( 4 \right)=16;\ \ S\left( 8 \right)=0.\)

\(\Rightarrow \underset{\left( 0;\ 8 \right)}{\mathop{Max}}\,S\left( x \right)=16\ \ khi\ \ x=4.\)

\(\Rightarrow y=8-x=4\ \ \left( tm \right).\)

Vậy hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất là hình vuông có cạnh là \(4cm.\)