Bài 33 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho elip \((E):{{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1.\)

a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu (đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip).

b) Tìm trên (E) điểm M sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\) , trong đó \({F_1},{F_2}\) lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(a = 3;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2 .\)

\({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right);\,{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Gọi M là điểm trên (E) có hoành độ \(x = 2\sqrt 2 \)

Thay \(x = 2\sqrt 2 \) vào phương trình (E) ta được: 

\({8 \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow y =  \pm {1 \over 3}.\) 

Vậy \({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;{1 \over 3}} \right);{M_2}\left( {2\sqrt 2 ; - {1 \over 3}} \right)\) và độ dài dây cung cần tìm là \({M_1}{M_2} = {2 \over 3}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& M{F_1} = a + {c \over a}x = 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_2} = a - {c \over a}x = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_1} = 2M{F_2} \Leftrightarrow 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x = 6 - {{4\sqrt 2 } \over 3}x \cr&\Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 3 \Leftrightarrow x = {{3\sqrt 2 } \over 4}. \cr} \) 

Thay \(x = {{3\sqrt 2 } \over 4}\) vào phương trình elip ta được:

\({2 \over {16}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {7 \over 8} \Leftrightarrow y =  \pm {{\sqrt {14} } \over 4}.\)

Vậy \({M_1}\left( {{{3\sqrt 2 } \over 4};{{\sqrt {14} } \over 4}} \right);{M_2}\left( {{{3\sqrt 2 } \over 4}; - {{\sqrt {14} } \over 4}} \right).\)