Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

 

55

20

 

 

-4

 

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

 

 

 

 

17

12

72

2

-5

 

 

-205

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

 

55

20

 

 

-4

 

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

 

 

 

 

17

12

72

2

-5

 

 

-205

 

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \frac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) Biết \({u_1} =  - 2;{u_{20}} = 55\). Tìm d và \({S_{20}}\).

Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d \Leftrightarrow 55 =  - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)

\( \Rightarrow {S_{20}} = {{\left( {2{u_1} + 19d} \right).20} \over 2} = {{\left( {2.\left( { - 2} \right) + 19.3} \right).20} \over 2} = 530\)

b) Biết \(d =  - 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).

Ta có \({S_{15}} = {{\left( {2{u_1} + 14.d} \right).15} \over 2} \Leftrightarrow 120 = {{\left( {2{u_1} + 14.\left( { - 4} \right)} \right).15} \over 2} \)

\(\Leftrightarrow {u_1} = 36\)

\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) =  - 20\)

c) Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm n và tính \({S_n}\).

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)

\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)

\( \Rightarrow {S_{28}} = {{\left( {2{u_1} + 27d} \right).28} \over 2} = {{\left( {2.3 + 27.{4 \over {27}}} \right).28} \over 2} = 140\)

d) Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).

Ta có \(\left\{ \matrix{  {u_1} + 11d = 17 \hfill \cr   {{\left( {2{u_1} + 11d} \right).12} \over 2} = 72 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {u_1} + 11d = 17 \hfill \cr   2{u_1} + 11d = 12 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {u_1} =  - 5 \hfill \cr   d = 2 \hfill \cr}  \right.\)

e) Biết \({u_1} = 2;d =  - 5\) và \({S_n} =  - 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).

Ta có

\(\eqalign{  & {S_n} = {{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n} \over 2}\cr& \Leftrightarrow  - 205 = {{\left( {2.2 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 5} \right)} \right)n} \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow  - 410 = n\left( { - 5n + 9} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0 \Leftrightarrow n = 10  \cr   &  \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 2 + 9.\left( { - 5} \right) =  - 43 \cr} \)

Vậy ta điền được bảng như sau :

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

3

55

20

530

36

-4

-20

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

28

140

-5

2

17

12

72

2

-5

-43

10

-205

\({u_1}\)

d

\({u_n}\)

n

\({S_n}\)

-2

3

55

20

530

36

-4

-20

15

120

3

\({4 \over {27}}\)

7

28

140

-5

2

17

12

72

2

-5

-43

10

-205