Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm \(A(3;5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \left( {a;b} \right)\) biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x';y'). Khi đó \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' - x = a \hfill \cr y' - y = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó

\(T_{\vec{v}} (A) = A'\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow A' = (2;7)\)

Tương tự ta tìm được \(B' =(-2;3)\)

b) Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{\vec{-v}} (A) \) (với \( - \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\))

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y' = 5 - 2 = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {4;3} \right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi \(M(x;y)\), \(M' = T_{\vec{v}} =(x'; y')\). Khi đó 

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 \)

\(⇔ M' ∈ d'\) có phương trình \(x-2y+8=0\).

Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d':\,\, x-2y+8=0\)

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\).

Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).

Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó gọi \(B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right) \in d'\)

\( \Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,x - 2y + 8 = 0\).