Bài 3 trang 18 SGK Hình học 12

Đề bài

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác và định lý Ta-lét để làm bài toán.

Lời giải chi tiết

Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều \(BCD, ACD, ABD, ABC\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\):

Ta có: \({{M{\rm{D}}'} \over {MA}} = {{MA'} \over {M{\rm{D}}}} = {1 \over 3}\) (tính chất đường trung tuyến).

\( \Rightarrow A'D'//A{\rm{D}}\)  (định lý Ta-lét).

và \(A'D' = {1 \over 3}A{\rm{D}} = {a \over 3}\) 

Tương tự \(A'B' = B'C' = C'A' = B'D' = C'D' = {a \over 3}\) 

Vậy \(A’B’C’D’\) là tứ diện đều