Bài 3 trang 140 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\);                 b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\)

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải phương trình \(a{z^4} + b{z^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 1: Đặt \({z^2} = t\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t: \(a{t^2} + bt + c = 0\).

Bước 3: Từ nghiệm t, ta giải tìm nghiệm x bằng cách tìm căn bậc hai của t.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right.\)

Khi \(t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z =  \pm \sqrt 2 \).

Khi \(t =  - 3 \Rightarrow {z^2} =  - 3 \Rightarrow z =  \pm i\sqrt 3 \)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).

b) Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 5\end{array} \right.\)

Khi \(t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z =  \pm i\sqrt 2 \).

Khi \(t =  - 5 \Rightarrow {z^2} =  - 3 \Rightarrow z =  \pm i\sqrt 5 \)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).