Bài 2 trang 140 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\);           b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\);     

c) \(5{z^2} -7z+ 11=  0\) 

Hướng dẫn giải

Phương trình bậc hai: \(a{z^2} + bz + c = 0\) \(\left( {a \ne 0} \right)\)

Bước 1: Tính biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) (hoặc \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)).

Bước 2: 

Khi \(\Delta  = 0\), phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\).

Khi \(\Delta  > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\).

Khi \(\Delta  < 0\), gọi \(\delta \) là một căn bậc hai của \(\Delta\), phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \delta }}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(∆' = 1^2-(-3).(-1)=1 - 3 = -2\).

Căn bậc hai của \(\Delta'\) là \( \pm i\sqrt 2 \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\)= \( \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\)

b) Ta có \(∆ =3^2-4.7.2= 9 - 56 = -47\).

Căn bậc hai của \(\Delta\) là \( \pm i\sqrt {47}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\);

c) Ta có \(∆ = 49 - 4.5.11 = -171\).

Căn bậc hai của \(\Delta\) là \( \pm i\sqrt {171}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\)