Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha)\) cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\). Một đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\);

b) Mặt phẳng \((ABD)\) vuông góc với mặt phẳng \((BCD)\);

c) \(HK//BC\) với \(H\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của \(DB\) và \(DC\) với mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\).

Hướng dẫn giải

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB\bot BC\)    (1)

\(AD\) vuông góc với \((\alpha)\) nên \(AD\bot BC\)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC\bot (ABD)\) suy ra \(BC\bot BD\)

\(\left. \matrix{
(ABC) \cap (DBC) = BC \hfill \cr
BD \bot BC \hfill \cr
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \) góc giữa hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((DBC)\) là góc  \(\widehat {ABD}\)

b) 

\(\left. \matrix{
BC \bot (ABD) \hfill \cr
BC \subset (BCD) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (ABD) \bot (BCD)\)

c) 

 Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(DB\) nên \(HK\bot BC\)

Trong \((BCD)\) có: \(HK\bot BC\) và \(BC\bot BD\) nên suy ra \(HK// BC\).