Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 24

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a)\({z^3} + 1 = 0\);                                               

b) \({z^4} - 1 = 0\);

c) \({z^4} + 4 = 0\);                                          

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).

Hướng dẫn giải

a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\)

Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} =  - 1\)

\({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} =  - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)              

                      \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr  z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)

b) \({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\)

                   \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr  {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z =  \pm 1 \hfill \cr  z =  \pm i \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} =  - i,{z_3} = 1,{z_4} =  - 1\)

c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\)

Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} =  - 1 + i\)

Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\)

                          \( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\)

Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} =  - 1\)

Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\)

Nghiệm của \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) hay \({\left( {2z + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = 0\)là \({z_3} =  - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\)  và\({z_4} =  - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)