Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 20

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i)\)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B, C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B, C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Hướng dẫn giải

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\) là

                  \(z = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left( {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right)\)

Do đó \({z_1} + {z_2} =  - {B \over A}\);\({z_1}.{z_2} = {{\left( { - B - \delta } \right)\left( { - B + \delta } \right)} \over {2A.2A}} = {{{B^2} - {\delta ^2}} \over {4{A^2}}} = {{4AC} \over {4{A^2}}} = {C \over A}\)

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha \); \({z_1}{z_2} = \beta \)

\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình:

\(\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0\)

Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i\); \({z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,\)

nên \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình

\({z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0\) (*)

\(\Delta  = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right) = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i =  - 5 + 12i\)

Giả sử \({\left( {x + yi} \right)^2} =  - 5 + 12i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} =  - 5 \hfill \cr  2xy = 12 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} =  - 5 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y = 3 \hfill \cr}  \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{  x =  - 2 \hfill \cr  y =  - 3 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(\Delta\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {2 + 3i} \right)\).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

\({z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\)

\({z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i\)

c) Nếu phương trình \({z^2} + Bz + C = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \), thì theo công thức Vi-ét,\(B =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu \(B, C\) thực thì \(\Delta  = {B^2} - 4AC > 0\) hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi \(\Delta  \le 0\) thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).