Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) có đường kính là \(AB\) biết rằng \(A( 6 ; 2 ; -5), B(-4 ; 0 ; 7)\).

a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(r\) của mặt cầu \((S)\)

b) Lập phương trình của mặt cầu \((S)\).

c) Lập phương trình của mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) tại điểm \(A\).

Hướng dẫn giải

a) Tâm I là trung điểm của AB: \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\).

b) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có bán kính \(R\) có dạng: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

c) Mặt phẳng cần tìm đi qua A và nhận \( \overline {IA} \) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết

a) Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\): \(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)                 

\(A{B^2} = {\rm{ }}{\left( { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {248}  = 2\sqrt {62} \)

Vậy \(R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \)

b) Phương trình mặt cầu \((S)\)

\({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\)

\( \Leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(A\) chính là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với bán kính \(IA\). Ta có:

\(\overrightarrow {IA}  = (5; 1 ; -6)\)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\)