Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 13. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\)

b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0\)

c) \(9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + {z^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16 \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {4; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 4.

b) Ta có

\(\eqalign{
& 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - y + 5z - {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z + {5 \over 2}} \right)^2} = {{49} \over 6} \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;{1 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) và có bán kính \(R = {{7\sqrt 6 } \over 6}\).

c) 

\(\eqalign{
& 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - {2 \over 3}x + 2y + {1 \over 9} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - {1 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \cr} \)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {{1 \over 3}; - 1;0} \right)\) và có bán kính R = 1.