Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 10. Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\,;\,B\left( {0;0;1} \right)\,;\,C\left( {2;1;1} \right)\)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
d) Tính các góc của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;0; - 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1;0} \right)\).
Vì \({1 \over 2} \ne {0 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} \) không cùng phương do đó A, B, C thẳng hàng.
b) Ta có

\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \cr
& BC = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \cr} \)

Vậy chu vi tam giác ABC bằng \(\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 \).
Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC \) vuông tại A nên có diện tích \(S = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
c) Gọi \({h_a}\) là độ dài đường cao kẻ từ A ta có:
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}BC.{h_a} \Rightarrow {h_a} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{\sqrt 6 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {30} } \over 5}\)
d) Vì tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\cos B = {{AB} \over {BC}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {10} } \over 5}\,;\,\cos C = {{AC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {15} } \over 5}\)