Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 2. Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)