Bài 5 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Cho điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\).

a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.

c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \({M_1}\left( {x;y;0} \right)\) là hình chiếu của điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên mp(Oxy) thì \(\overrightarrow {M{M_1}}  = \left( {x - a,y - b, - c} \right)\) và \(\overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow i  = \overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow j  = 0\) nên:

\(\left\{ \matrix{
x - a = 0 \hfill \cr
y - b = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = a \hfill \cr
y = b \hfill \cr} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {a;b;0} \right)\).

Tương tự \({M_2}\left( {0;b;c} \right)\) là hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên mp(Oyz)
Và \({M_3}\left( {a;0;c} \right)\) là hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên mp(Oxz).
Giả sử \({M_4}\left( {x;0;0} \right)\) là hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên trục Ox thì
\(\overrightarrow {M{M_4}}  = \left( {x - a; - b; - c} \right)\) và \(\overrightarrow {M{M_4}} .\overrightarrow i  = 0\) nên x = a. Vậy \({M_4}\left( {a;0;0} \right)\).
Tương tự \({M_5}\left( {0;b;0} \right)\) và \({M_6}\left( {0;0;c} \right)\) lần lượt là hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên trục Oy và Oz.

b) Khoảng cách từ M đến (Oxy) là:

\(\eqalign{
& d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = M{M_1} = \sqrt {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - b} \right)}^2} + {{\left( {c - 0} \right)}^2}} = \left| c \right| \cr
& d\left( {M;\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| a \right|;d\left( {M;\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| b \right| \cr
& d\left( {M;Ox} \right) = M{M_4} = \sqrt {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - 0} \right)}^2} + {{\left( {c - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr
& d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} ,d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

c) Gọi \(M_1'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxy) thì \({M_1}\) là trung điểm của \(MM_1'\) nên

\(\left\{ \matrix{
{x_{{M_1}}} = {{{x_M} + {x_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr
{y_{{M_1}}} = {{{y_M} + {y_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr
{z_{{M_1}}} = {{{z_M} + {z_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_{M_1'}} = 2{x_{{M_1}}} - {x_M} = 2a - a = a \hfill \cr
{y_{M_1'}} = 2{y_{{M_1}}} - {y_M} = 2b - b = b \hfill \cr
{z_{M_1'}} = 2{z_{{M_1}}} - {z_M} = 0 - c = - c \hfill \cr} \right. \Rightarrow M_1'\left( {a;b; - c} \right)\)

Tương tự \(M_2'\left( { - a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng của M qua mp(Oyz)
Và \(M_3'\left( {a; - b;c} \right)\) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxz).