Bài 10 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 10. Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx} ;\)             \(b)\,\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx\)                 

c) \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx\) 

Hướng dẫn: Áp dụng định lí 1.

Hướng dẫn giải

a) Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với cạnh nghiêng là đường thẳng \(y = {x \over 2} + 3.\) Diện tích đó là \(\left( {2 + 5} \right){6 \over 2} = 21.\) vậy \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx = 21} .\) 

b)

Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác. Do đó tích phân bằng diện tích của A và là \({1 \over 2}.1.1 + {1 \over 2}2.2 = 0,5 + 2 = 2,5\) 

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx = {5 \over 2}\).

c) Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn \({x^2} + {y^2} = 9\)(hình). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa dường tròn là \(9{\pi  \over 2} = 4,5\pi .\)

Vậy \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx = 4,5\pi \)