Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Trường Phổ Thông Chuyên Bình Phước - Hệ Chuyên (Năm học 2018 - 2019) (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Rút gọn biểu thức: \(T = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \frac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\).

A \(T = \sqrt {ab} \)

B \(T = - \sqrt {ab} \)

C \(T = \frac{1}{{\sqrt a + 1}}\)

D \(T = - \frac{1}{{\sqrt a + 1}}\)

Câu 2 : Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2023.\)

A \(H = 2016\)

B \(H = 2017\)

C \(H = 2018\)

D \(H = 2019\)

Câu 3 : Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(d:\) \(y = (m + 1)x - {m^2} - \frac{1}{2}\). Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(A({x_1};{y_1});\;\;B({x_2};{y_2})\) sao cho biểu thức: \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A \(m = 0\)

B \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\)

C \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

D \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Câu 4 : Giải phương trình: \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5.\)

A \(x = 3\)

B \(x = 2\)

C \(x = 1\)

D \(x = 0\)

Câu 5 : Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}({x^2} + 1)({y^2} + 1) = 10\\(x + y)(xy - 1) = 3\end{array} \right.\)

A \(S = \left\{ {\left( {1;\;2} \right),\;\left( {2;\;1} \right),\;\left( { - 1; - 2} \right),\;\left( { - 2;\; - 1} \right),\;\left( {0;\,3} \right),\;\left( {3;\;0} \right)} \right\}.\)

B \(S = \left\{ {\left( { - 1;\;2} \right),\;\left( {2;\; - 1} \right),\;\left( {1; - 2} \right),\;\left( { - 2;\;1} \right),\;\left( {0;\,3} \right),\;\left( {3;\;0} \right)} \right\}.\)

C \(S = \left\{ {\left( { - 1;\;2} \right),\;\left( {2;\; - 1} \right),\;\left( { - 1; - 2} \right),\;\left( { - 2;\; - 1} \right),\;\left( {0; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;0} \right)} \right\}.\)

D \(S = \left\{ {\left( {1;\;2} \right),\;\left( {2;\;1} \right),\;\left( {1; - 2} \right),\;\left( { - 2;\;1} \right),\;\left( {0; - 3} \right),\;\left( { - 3;\;0} \right)} \right\}.\)

Câu 6 : Cho đường tròn (O, R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên dây BC lấy M (M khác B và C). Trên dây BD lấy N sao cho \(\angle MAN = \frac{1}{2}\angle CAD\), AN cắt CD tại K. Từ M kẻ MH vuông AB (H thuộc AB).a) CMR: Tứ giác ACMH nội tiếp, ACMK nội tiếp.b) Tia AM cắt (O) tại E (E khác A), tiếp tuyến tại E và B của đường tròn cắt nhau tại F. Chứng minh rằng AF đi qua trung điểm HM.c) CMR: MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di chuyển trên dây BC (M khác B và C).

Câu 7 : Tìm tất cả số nguyên tố \(p\) sao cho \(16p + 1\) là lập phương của 1 số nguyên dương.

A \(p = 57\)

B \(p = 37\)

C \(p = 257\)

D \(p = 307\)

Câu 8 : Tìm tất cả bộ số nguyên \(\left( {a;\;b} \right)\) thỏa mãn: \(3({a^2} + {b^2}) - 7(a + b) = - 4.\)

A \(\left( {a;\;b} \right) = \left\{ {\left( {0;\; - 1} \right),\;\left( { - 1;\;0} \right),\;\left( {2;\;2} \right)} \right\}.\)

B \(\left( {a;\;b} \right) = \left\{ {\left( {0;\;1} \right),\;\left( {1;\;0} \right),\;\left( {2;\;2} \right)} \right\}.\)

C \(\left( {a;\;b} \right) = \left\{ {\left( {0;\;1} \right),\;\left( { - 1;\;0} \right),\;\left( { - 2;\; - 2} \right)} \right\}.\)

D \(\left( {a;\;b} \right) = \left\{ {\left( {0;\; - 1} \right),\;\left( {1;\;0} \right),\;\left( { - 2;\; - 2} \right)} \right\}.\)

Câu 9 : a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)b) Xét các số thực \(a,\;b,\;c\) với \(b \ne a + c\) sao cho phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm thực \(m,\;n\) thỏa mãn: \(0 \le m,n \le 1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \(M = \frac{{(a - b)(2a - c)}}{{a(a - b + c)}}\)

A \(b)\,\,\max M = 2\,\,;\,\,\,\min M = \frac{3}{4}\)

B \(b)\,\,\max M = 3\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{4}\)

C \(b)\,\,\max M = 4\,\,;\,\,\,\min M = \frac{5}{4}\)

D \(b)\,\,\max M = 1\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{2}\)

Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Trường Phổ Thông...