Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số đã cho.

+) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi để làm bài toán.

Giải chi tiết:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = (m + 1)x - {m^2} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 2{m^2} + 1 = 0\;\;\left( * \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có 2 nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 2{m^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2m - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)

Với \(0 \le m \le 2\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;{y_2}} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 1\end{array} \right..\)

Ta có: \(A\left( {{x_1};\;\;\frac{1}{2}x_1^2} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;\frac{1}{2}x_2^2} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - {x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - {x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2\\\;\;\;\;\;\;\; =  - 2{m^2} + 4m =  - 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 2\\\;\;\;\;\;\;\; =  - 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 2.\end{array}\)

Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall m \in \left[ {0;\;2} \right].\)

Đặt \(t = m - 1 \Rightarrow m \in \left[ {0;\;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\;1} \right] \Rightarrow {t^2} \in \left[ {0;\;1} \right].\)

\( \Rightarrow T = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2} = 2 - 2{t^2} \ge 0\;\;\forall t \in \left[ {0;\;1} \right].\)

Vậy \(Min\;T = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right..\)

Chọn B.