Tìm tất cả số nguyên tố \(p\) sao cho \(16p + 1\) ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Do \(16p + 1\)  lẻ nên ta đặt: \(16p + 1 = {(2n + 1)^3} = 8{n^3} + 12{n^2} + 6n + 1 \Leftrightarrow 8p = n(4{n^2} + 6n + 3)\;\;\;\left( * \right)\;\;\left( {\forall n \in N*} \right)\)

Ta có: \((4{n^2} + 6n + 3)\) là tam thức bậc 2 vô nghiệm, là số lẻ  lớn hơn 1 và không phân tích được thành tích 2 số tự nhiên \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 8\\4{n^2} + 6n + 3 = p\end{array} \right. \Rightarrow p = 307.\)

Thử lại ta được: \(16.307 + 1 = {\left( {2.8 + 1} \right)^3} = 4913\) thỏa mãn.

Vậy \(p = 307\) là số nguyên tố thỏa mãn bài toán.

Chọn D.