a)  Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)

Với \(x,\;y > 0\) ta có:  \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy(x + y) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) \ge xy\left( {x + y} \right)\)

                            \( \Leftrightarrow {x^2} - xy + {y^2} \ge xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu “=”  xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x,\;y > 0\end{array} \right..\)

b) Theo đề bài ta có phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(m,\;n\;\;\left( {0 \le m,\;n \le 1} \right) \Rightarrow a \ne 0.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n =  - \frac{b}{a}\\mn = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow M = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - c} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}} = \frac{{\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {2 - \frac{c}{a}} \right)}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{\left( {1 + m + n} \right)\left( {2 - mn} \right)}}{{1 + m + n + mn}}.\)

Vì: \(2 - mn \le 2;\;\;mn \ge 0 \Rightarrow M \le \frac{{(1 + m + n).2}}{{1 + m + n}} = 2\).

Vậy \(Max\;M = 2 \Leftrightarrow mn = 0 \Leftrightarrow c = 0.\)

Ta lại có: \(0 \le m,\;n \le 1 \Rightarrow m\left( {n - 1} \right) + n\left( {m - 1} \right) + mn - 1 \le 0 \Leftrightarrow mn \le \frac{1}{3}\left( {m + n + 1} \right).\)

\( \Rightarrow M \ge \frac{{m + n + 1}}{{1 + m + n + \frac{1}{3}\left( {1 + m + n} \right)}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy \(Min\;M = \frac{3}{4} \Leftrightarrow m = n = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = c\end{array} \right..\) 

Chọn A.