Đề thi online -Tính đạo hàm bằng định nghĩa - Có lời giải chi tiết

Câu 1 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{x+1}\). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({{x}_{0}}=1\)

A \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

B \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C \(2\sqrt{2}\)

D \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Câu 2 : Khi tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+5x-3\) tại điểm \({{x}_{0}}=2\), một học sinh đã tính theo các bước sau:Bước 1: \(f\left( x \right)-f\left( 2 \right)=f\left( x \right)-11\)Bước 2: \(\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+5x-3-11}{x-2}=\frac{\left( x-2 \right)\left( x+7 \right)}{x-2}=x+7\)Bước 3: \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+7 \right)=9\Rightarrow f'\left( 2 \right)=9\)Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A Bước 1

B Bước 2

C Bước 3

D Tính toán đúng.

Câu 3 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?

A \(\frac{1}{4}\)

B \(\frac{1}{16}\)

C \(\frac{1}{2}\)

D 2

Câu 4 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B 1

C 2

D không tồn tại.

Câu 5 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Xét hai mệnh đề sau:(I) \(f'\left( 0 \right)=1\)(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({{x}_{0}}=0\)Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I)

B Chỉ (II)

C Cả 2 đều đúng

D Cả 2 đều sai.

Câu 6 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\, \, \, khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:

A 0

B 4

C 5

D Không tồn tại

Câu 7 : Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:

A \(\frac{1}{2}\)

B \(-\frac{1}{2}\)

C \(-2\)

D không tồn tại.

Câu 8 : Xét hai mệnh đề:(I) f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀ (II) f(x) liên tục tại x₀thì f(x) có đạo hàm tại x₀Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I)

B Chỉ (II)

C Cả hai đều sai

D Cả 2 đều đúng.

Câu 9 : Xét ba hàm số: \(\left( I \right):f\left( x \right)=\left| x \right|x,\,\,\left( II \right):g\left( x \right)=\sqrt{x}\) . Hàm số có đạo hàm tại x = 0 là:

A Chỉ (I)

B Chỉ II

C Chỉ I và II

D Cả I và II

Câu 10 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x^2}\,\,\,khi\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 0\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:

A \(\frac{1}{3}\)

B \(-\frac{5}{3}\)

C \(\frac{3}{4}\)

D không tồn tại.

Câu 11 : Cho đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số có tại hàm tại x = 0

B Hàm số có tại hàm tại x = 1

C Hàm số có tại hàm tại x = 2

D Hàm số có tại hàm tại x = 3

Câu 12 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:

A \(\frac{3}{2}\)

B 1

C 0

D không tồn tại.

Câu 13 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+\left| x+1 \right|}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({{x}_{0}}=-1\).

A 2

B 1

C 0

D Không tồn tại

Câu 14 : Xét hai câu sau:(1) Hàm số \(y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\) liên tục tại x = 0.(2) Hàm số \(y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\) có đạo hàm tại x = 0.Trong 2 câu trên:

A (2) đúng

B (1) đúng

C Cả (1), (2) đều đúng

D Cả (1), (2) đều sai.

Câu 15 : Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.

A \(a=-2\)

B a = 2

C a = 1

D \(a=\frac{1}{2}\)

Câu 16 : Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax + b\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.

A \(a=-11,b=11\)

B \(a=-10,b=10\)

C \(a=-12,b=12\)

D \(a=-1,b=1\)

Câu 17 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

A \(a=-1,b=0\)

B \(a=-1,b=1\)

C \(a=1,b=0\)

D \(a=1,b=1\)

Câu 18 : Với hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Để tìm đạo hàm \(f'\left( 0 \right)\) một học sinh lập luận qua các bước sau:Bước 1: \(\left| f\left( x \right) \right|=\left| x \right|\left| \sin \frac{\pi }{x} \right|\le \left| x \right|\)Bước 2: Khi \(x\to 0\) thì \(\left| x \right|\to 0\) nên \(\left| f\left( x \right) \right|\to 0\Rightarrow f\left( x \right)\to 0\)Bước 3: Do \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=0\) nên hàm số liên tục tại x = 0.Bước 4: Từ f(x) liên tục tại \(x=0\Rightarrow f\left( x \right)\) có đạo hàm tại x = 0.Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A Bước 1

B Bước 2

C Bước 3

D Bước 4.

Câu 19 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)...\left( x-1000 \right)\). Tính \(f'\left( 0 \right)\) ?

A 10000!

B 1000!

C 1100!

D 1110!

Câu 20 : Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({{x}_{0}}=0\).

A \(a=1,b=1\)

B \(a=-1,b=1\)

C \(a=-1,b=-1\)

D \(a=0,b=1\)

Đề thi online -Tính đạo hàm bằng định nghĩa - Có l...