Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Chuyên Quảng Ngãi 2017 - 2018 (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : 1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0\)2. Cho \(x,y\) là các số thực dương.Chứng minh rằng \(\left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| x \right| + \left| y \right|\)Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu \(x,y\) là các số thực âm? Tại sao?

A \(1.\,\,S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

B \(1.\,\,S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

C \(1.\,\,S = \left\{ {1;\;2} \right\}.\)

D \(1.\,\,S = \left\{ {0;\; - 1} \right\}.\)

Câu 2 : 1. Giả sử \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố. Chứng minh rằng \(n\) chia 3 dư 1 và \(7{n^2} + 6n + 2017\) không phải số chính phương2. Tìm tất cả các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn phương trình: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

A \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

B \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( { - 8; - 26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( {45;27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

C \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( {45;27} \right),\left( {45;18} \right)} \right\}.\)

D \(2.\,\,\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( { - 8; - 26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( {45;18} \right)} \right\}.\)

Câu 3 : Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 15x - 11\) và các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(P\left( a \right) = 1,P\left( b \right) = 5\).Tính giá trị của biểu thức \(a + b\)

A \(1\)

B \(2\)

C \(3\)

D \(4\)

Câu 4 : Giả sử \(x,y\) là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(x\left( {xy + 1} \right) = 2{y^2}\).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(H = \frac{{{y^4}}}{{1 + {y^2} + {y^4}\left( {{x^4} + {x^2}} \right)}}\)

A \({H_{\max }} = 1\)

B \({H_{\max }} = \frac{1}{2}\)

C \({H_{\max }} = \frac{1}{3}\)

D \({H_{\max }} = \frac{1}{4}\)