1. Giả sử \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều k...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh \(n\) chia 3 dư 1 bằng phản chứng. Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2.

2. Biến đổi phương trình để được phương trình mới có hai vế là tổng các bình phương. Từ đó chia trường hợp để tìm tất cả các giá trị của \(x,y.\)

Giải chi tiết:

1. Giả sử  n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố. Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và \(7{n^2} + 6n + 2017\) không phải số chính phương.

Vì \(n\) là số nguyên dương \( \Rightarrow {n^2} + n + 3 > 3\)

Mà \({n^2} + n + 3\) là số nguyên tố \( \Rightarrow {n^2} + n + 3\) không chia hết cho 3

Giả sử \(n \vdots 3 \Rightarrow {n^2} \vdots 3 \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 3} \right) \vdots 3\)  vô lý

\( \Rightarrow n\) không chia hết cho 3

Với \(n \equiv 2\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {{n^2} + n} \right)\; \vdots \;3 \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 3} \right)\; \vdots \;3\)  vô lý

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\;\;\;\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\6n \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7{n^2} \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\\6n \vdots 3\end{array} \right. \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)\end{array}\)    

\( \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017\) không là số chính phương    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow 7{n^2} + 6n + 2017\)  không phải là số chính phương khi \(n:3\) dư \(1.\)

2. Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

Ta có: \(2{x^2} + 4{y^2} - 4xy + 2x + 1 = 2017\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4xy + 4{y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 81 + 1936\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {9^2} + {44^2}\\TH1:\;\;\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = {9^2}\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 9\\x + 1 =  - 9\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x =  - 10\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\{\left( {8 - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\{\left( { - 10 - 2y} \right)^2} = {44^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\left[ \begin{array}{l}8 - 2y = 44\\8 - 2y =  - 44\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\\left[ \begin{array}{l} - 10 - 2y = 44\\ - 10 - 2y =  - 44\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 18\\y = 26\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 27\\y = 17\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x,y} \right) = \left( {8; - 18} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( {8;26} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 10; - 27} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 10;17} \right)\end{array} \right.\\TH2:\;\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} = {44^2}\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 44\\x + 1 =  - 44\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 43\\x =  - 45\end{array} \right.\\{\left( {x - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\{\left( {43 - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 45\\{\left( { - 45 - 2y} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\\left[ \begin{array}{l}43 - 2y = 9\\43 - 2y =  - 9\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 45\\\left[ \begin{array}{l} - 45 - 2y = 9\\ - 45 - 2y =  - 9\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 43\\\left[ \begin{array}{l}y = 17\\y = 26\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 45\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 27\\y =  - 18\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x,y} \right) = \left( {43;17} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( {43;26} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 45; - 27} \right)\\\left( {x,y} \right) = \left( { - 45; - 18} \right)\end{array} \right.\end{array}\) 

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {8; - 18} \right),\left( {8;26} \right),\left( { - 10; - 27} \right),\left( { - 10;17} \right),\left( {43;17} \right),\left( {43;26} \right),\left( { - 45; - 27} \right),\left( { - 45; - 18} \right)} \right\}.\)

Chọn A.