1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Biến đổi phương trình về dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Đưa về phương trình tích để giải tìm \(x\)

b) +) Biến đổi 2 vế của phương trình để cùng bằng một phương trình thứ 3

\(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

+) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - a\\y =  - b\end{array} \right.\,\,\,\,(a,b \ge 0)\). Làm tương tự như trên để trả lời câu hỏi.

Giải chi tiết:

1. Giải phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  = 0\)

ĐKXĐ: \({x^2} + x + 1 \ge 0\) luôn đúng

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  =  - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)   (1)

Vì \(\sqrt {{x^2} + x + 1}  \ge 0\) với mọi x \( \Rightarrow 2\sqrt {{x^2} + x + 1}  \ge 0\) với mọi x

\( \Rightarrow  - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 1\)    (*)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4\left( {{x^2} + x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 4 = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4x + 4 = {x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} - 2{x^3} - 8{x^2} - 8x + {x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} - 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} + 2{x^2} - 7x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\\{x^2} + x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp (*) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

2. Cho x, y là các số thực dương.

Chứng minh rằng \(\left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| x \right| + \left| y \right|\)

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x, y là các số thực âm? Tại sao?

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {\frac{{x + y - 2\sqrt {xy} }}{2}} \right| + \left| {\frac{{x + y + 2\sqrt {xy} }}{2}} \right|\\ = \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right| + \left| {\frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}}}{2}} \right|\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}}}{2}\;\;\left( {do\;\;{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2} \ge 0,\;\;{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y > 0} \right)\\ = \frac{{x + y - 2\sqrt {xy}  + x + y + 2\sqrt {xy} }}{2} = x + y.\end{array}\)

Mặt khác do \(x,\;y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = x\\\left| y \right| = y\end{array} \right. \Rightarrow VP = \left| x \right| + \left| y \right| = x + y.\) 

\( \Rightarrow VT = VP \Rightarrow \) đpcm

+) Đẳng thức trên đúng nếu \(x,y\) là các số thực âm

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - a\\y =  - b\end{array} \right.\,\,\,\,(a,b \ge 0)\). Ta có:

\(VT = \left| {\frac{{x + y}}{2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {\frac{{x + y}}{2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {\frac{{ - a - b}}{2} - \sqrt {ab} } \right| + \left| {\frac{{ - a - b}}{2} + \sqrt {ab} } \right| = \left| {\frac{{ - a - b - 2\sqrt {ab} }}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - a - b + 2\sqrt {ab} }}{2}} \right|\)

\( = \left| {\frac{{ - \left( {a + b + 2\sqrt {ab} } \right)}}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - \left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)}}{2}} \right| = \left| {\frac{{ - {{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}}}{2}} \right| + \left| {\frac{{ - {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{2}} \right|\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{2}\)  (do \( - {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} \le 0\) và \( - {\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \le 0\) với mọi \(a,b > 0\))

\( = \frac{{a + b + 2\sqrt {ab}  + a + b - 2\sqrt {ab} }}{2} = a + b\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a < 0\\ - b < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| { - a} \right| = a\\\left| { - b} \right| = b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow VP = \left| x \right| + \left| y \right| = \left| { - a} \right| + \left| { - b} \right| = a + b = VT\)

 Vậy đẳng thức trên đúng nếu \(x,y\) là các số thực âm.

Chọn A.