Giả sử \(x,y\) là các số thực dương thay đổi và th...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi điều kiện và biểu thức \(H\) sao cho sau khi dùng Cô-si sẽ triệt tiêu được hết \(x,y.\)

Giải chi tiết:

Cách 1: Ta có \(x\left( {xy + 1} \right) = 2{y^2} \Leftrightarrow {x^2}y + x = 2{y^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}y + x}}{{{y^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{y} + \frac{x}{{{y^2}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2}}}{y} + \frac{{2x}}{{{y^2}}} = 4\\H = \frac{{{y^4}}}{{1 + {y^2} + {y^4}\left( {{x^4} + {x^2}} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{y^4}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + {x^4} + {x^2}}} = \frac{1}{{\left( {\frac{1}{{{y^2}}} + {x^4}} \right) + \left( {\frac{1}{{{y^4}}} + {x^2}} \right)}}.\end{array}\)

Với \(x,y\) là các số thực dương ta có: \(\frac{1}{{{y^2}}} + {x^4} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{y^2}}}.{x^4}}  = \frac{{2{x^2}}}{y};\;\;\frac{1}{{{y^4}}} + {x^2} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{y^4}}}.{x^2}}  = \frac{{2x}}{{{y^2}}}.\)

\( \Rightarrow H \le \frac{1}{{\frac{{2{x^2}}}{y} + \frac{{2x}}{{{y^2}}}}} = \frac{1}{4}\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 1.\)  Vậy \({H_{\max }} = \frac{1}{4}\)

Cách 2:  Đặt \(z = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{z} \Rightarrow x\left( {x.\frac{1}{z} + 1} \right) = 2.\frac{1}{{{z^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x + z} \right)}}{z} = \frac{2}{{{z^2}}} \Leftrightarrow x\left( {x + z} \right) = \frac{2}{z} \Leftrightarrow xz\left( {x + z} \right) = 2\\H = \frac{{{y^4}}}{{1 + {y^2} + {y^4}\left( {{x^4} + {x^2}} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{y^4}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + {x^4} + {x^2}}} = \frac{1}{{{z^4} + {z^2} + {x^4} + {x^2}}}.\end{array}\)

Với \(x,y,z\) là các số thực dương ta có:

\(\begin{array}{l}{z^4} + {x^4} \ge 2{z^2}{x^2} \Rightarrow {z^2} + {x^2} \ge 2zx \Leftrightarrow 2{z^2} + 2{x^2} \ge {z^2} + {x^2} + 2zx\\ \Leftrightarrow 2\left( {{z^2} + {x^2}} \right) \ge {\left( {x + z} \right)^2} \Leftrightarrow {z^2} + {x^2} \ge \frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{2}\\ \Rightarrow {z^4} + {z^2} + {x^4} + {x^2} = \left( {{z^4} + {x^4}} \right) + \left( {{z^2} + {x^2}} \right) \ge 2{z^2}{x^2} + \frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{2} \ge 2\sqrt {2{z^2}{x^2}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{2}}  = 4\\ \Rightarrow H = \frac{1}{{{z^4} + {z^2} + {x^4} + {x^2}}} \le \frac{1}{4}\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 1.\)  Vậy \({H_{\max }} = \frac{1}{4}\)

Chọn D.