Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên lý Dirichlet: Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ

Giải chi tiết:

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5

Gọi 9 số đó có dạng \({x_i} = {2^{{a_i}}}{.3^{{b_i}}}{.5^{{c_1}}}\)   (\(i = 1,2,3,...,9\))

Khi lấy số dư của \({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\) cho 2 thì ta được 1 trong 8 trường hợp sau:

\(\left\{ {\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\left( {0;\;0;\;1} \right),\;\left( {0;\;1;\;0} \right),\;\left( {1;\;0;\;0} \right),\;\left( {1;\;1;\;0} \right),\;\left( {1;\;0;\;1} \right),\;\left( {0;\;1;\;1} \right),\;\left( {1;\;1;\;1} \right)} \right\}\)

Mà có 9 số nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số \({x_i}\) và \({x_j}\) sao cho:

\({a_i} \equiv {a_j}\left( {\bmod 2} \right)\,\,;\,\,{b_i} \equiv {b_j}\left( {\bmod 2} \right)\,\,;\,\,{c_i} \equiv {c_j}\left( {\bmod 2} \right)\)

\( \Rightarrow {a_i} + {a_j}\,\,;\,\,{b_i} + {b_j}\,\,;\,\,{c_i} + {c_j}\) đều chẵn

\( \Rightarrow {x_i}.{x_j} = {2^{{a_i} + {a_j}}}{.3^{{b_i} + {b_j}}}{.5^{{c_i} + {c_j}}}\) là một số chính phương.