Phép thử và biến cố lớp 11

Phép thử và biến cố lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết bài giảng phép thử và biến cố!

I. Khái niệm phép thử và biến cố

Phép thử: Thực hiện công việc quan sát, thí nghiệm.

Biến cố: Là kết quả của phép thử hay kết cục.

Ví dụ: Tung 1 con xúc sắc là thực hiện 1 phép thử.

Giả sử xuất hiện mặt 1 chấm. Đó là biến cố của phép thử.

Biến cố thường ký hiệu bằng các chữ A,B,C,…

II. Các loại biến cố

1) Biến cố ngẫu nhiên

- Là biến cố không thể biết trước được có thể xảy ra hay không xảy ra trong 1 phép thử.

2) Biến cố chắc chắn

- Là biến cố chắc chắn xảy ra trong phép thử.

- Ví dụ: Tung con xúc sắc, chắc chắn sẽ xuất hiện 1 trong 6 mặt. Gọi \(A_i(i=\overline{1;6})\) i là số chấm xuất hiện trên các mặt của con xúc sắc.

Ta có: \(\Omega={A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;A_6}\)

- Ta gọi biến cố chắc chắn là không gian mẫu: là tất cả các trường hợp có thể xảy ra trong 1 phép thử.

3) Biến cố không thể

- Khả xảy ra là không có khả năng trong biến cố loại này.

- Ví dụ: Tung con xúc sắc, biến cố “xuất hiện mặt 7 chấm” là biến cố không thể, ký hiệu là \(\Phi\)

III. Quan hệ giữa các biến cố

1) 2 biến cố đối lập

- Biến cố đối lập của biến cố A, ký hiệu: \(\overline{A}\) là biến cố không xảy ra nếu A xảy ra và ngược lại.

Bảng logic: 

A	\(\overline{A}\)
0	1
1	0

Ví dụ: Tung con xúc sắc, biến cố đối lập của A1 là \(​​\overline{A_1}=A_2;A_3;A_4;A_5;A_6\)

2) Biến cố tổng

Tổng của 2 biến cố A và B ký hiệu: A+B là biến cố xảy ra khi ít nhất 1 trong 2 biến cố A hoặc B xảy ra.

Bảng logic:

A	B	A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3) Biến cố tích

Tích của 2 biến cố A và B , ký hiệu: A.B là 1 biến cố xảy ra khi cả 2 biến cố A và B đồng thời xảy ra

Bảng logic

Mở rộng:

- Tổng của nhiều biến cố: \(A_1+A_2+...+A_n\).

- Tích của nhiều biến cố: \(A_1.A_2...A_n\). \(\overline{A_1.A_2...A_n}=\overline{A_1+A_2+...+A_n}\)

- Công thức Demorgan

 \(\overline{A_1+A_2+...+A_n}=\overline{A_1.A_2...A_n}\)

4) Biến cố xung khắc và đầy đủ

Hai loại biến cố được cho là xung khắc khi mà hai loại biến cố không có giá trị nào chung.

Vậy A, B xung khắc thì \(A.B=\Omega\)

Hệ biến cố {\(A_1;A_2;...;A_n\)} gọi là xung khắc từng đôi nếu 1 biến cố Ai nào đó xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. \(A_i.A_j=\Phi(i\ne j)\)

Hệ biến cố {\(A_1;A_2;...;A_n\)} gọi là đầy đủ nếu: \(A_1+A_2+...+A_n=\Omega\)

Ví dụ: Có 2 xạ thủ mỗi người bắn 1 viên đạn vào 1 tấm bia, gọi \(A_i(i=1;2)\) lần lượt là các biến cố “ Xạ thủ 1,2 bắn trúng bia”. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua A1, A2.

a) A là biến cố “ Chỉ có xạ thủ 1 bắn trúng bia”.

b) B là biến cố “ Có đúng 1 xạ thủ bắn trúng bia”.

c) C là biến cố “ Cả 2 xạ thủ bắn trúng bia”.

d) D là biến cố “Có ít nhất 1xạ thủ bắn trúng bia”.

e) E là biến cố “ Không có xạ thủ nào bắn trúng bia”.

f) F là biến cố “ Có không quá 1xạ thủ bắn trúng bia”.

GIẢI:

a) \(A=A_1.\overline{A_2}\)

b) \(B=A_1.\overline{A_2}+\overline{A_1}.A_2\)

c) \(C=A_1.A_2\)

d) \(D=A_1+A_2\)

e) \(E=\overline{A_1}.\overline{A_2}\)

f) \(F=\overline{A_1}.\overline{A_2}\)

Vì  \(\Omega\) { 0 có ai bắn trúng bia (E), có 1 người bắn trúng( B), cả 2 người bắn trúng(C) }

\(F=E+B=\overline{C}=\overline{A_1.A_2}\)

Ví dụ:

Tung con súc sắc, gọi A, B lần lượt các biến cố xuất hiện mặt lẻ và mặt chẵn.

\(A_i(i=\overline{1;6})\) lần lượt là biến cố “xuất hiện mặt i nút”.

Hãy cho biết tính xung khắc từng đôi và đầy đủ của các biến cố sau đây:

a) {A;B}

b) {\(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5\)}

c) {\(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;A\)}

d) {\(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;B\)}

e) {\(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;A_6\)}

f) {\(A_1;A_2;A_3;A_4;A_5;A;B\)}

V. Bài tập

Bài 1: 3 người đi săn mỗi người bắn 1 phát đạn vào con mồi. Gọi A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố người thứ 1, thứ 2, thứ 3, bắn trúng mồi. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua A1, A2, A3.

a) A là biến cố “ Con mồi trúng đạn”.

b) B là biến cố “ Con mồi chỉ trúng 1 viên đạn”.

c) C là biến cố “ Con mồi không trúng đạn”.

d) D là biến cố “ Con mồi trúng nhiều nhất 2 phát đạn”.

e) E là biến cố “ Con mồi trúng 2 viên đạn”.

Bài 2: A,B,C là các biến cố ngẫu nhiên. Hãy viết các biểu thức biến cố sau:

a) Chỉ có biến cố A xảy ra.

b) A và B xảy ra nhưng C không xảy ra.

c) Cả 3 biến cố đều không xảy ra.

d) Có ít nhất 1 biến cố xảy ra.

e) Có ít nhất 1 biến cố 0 xảy ra.

f) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.

g) Có nhiều nhất 1 biến cố xảy ra.

h) Có không ít hơn 2 biến cố xảy ra.

i) Có 0 nhiều hơn 2 biến cố xảy ra.

Bài 3: Gọi \(A_i(i=1,2,3)\) i lần lượt là các biến cố bóng đèn thứ i bị hỏng. Hãy viết các biến cố sau ( theo \(A_i\& \overline{A_i}\)) cho 2 hình vẽ dưới đây trong các trường hợp

a) Mạch có dòng điện chạy qua.

b) Mạch mất điện.

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về giải toán 11 bài phép thử và biến cố trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!