Mẹo Toán học: Lý thuyết và xác suất thống kê và các phương pháp giải

Mẹo Toán học: Lý thuyết và xác suất thống kê và các phương pháp giải

Theo như thống kê, chúng tôi nhận thấy lý thuyết về xác suất là một trong những học phần tương đối khó và gây không ít khó khăn cho các bạn trong giải bài tập. nếu bạn cũng đang gặp phải vấn đề này, thì bài viết sẽ giúp bạn đưa ra phương phát học tốt nhất!

I. Biến cố, xác suất biến cố

1. Định nghĩa

Thực hiện trong thí nghiệm ngẫu nhiên có đầu ra khó xác định được từ những điều kiện đã cho sẵn ban đầu. Kết quả duy nhất thu được chính là kết quả đơn của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Kết quả này hoàn toàn không phân tách được và chỉ cho một kết quả duy nhất cho mỗi lần thử. Chính vì vậy ta gọi chúng là các kết cục hay là của một biến cố sơ cấp. Tập hợp các kết cục sơ cấp đó ta ký hiệu là S, hay được gọi là không gian mẫu.

Ví dụ về phép thử:

Tìm không gian mẫu của thí nghiệm tung đồng tiền

TH1: 1 lần.

TH2: 2 lần.

Giải.

TH1: Hai kết cục có thể: ngửa N và sấp S.

Vậy \(S ={N, S}.\)

TH2: \(S = {NN, NS, SN, SS}.\)

Như vậy ở TH2 không gian mẫu có 4 kết cục, cũng có đúng 4 biến cố sơ cấp.

Cả thảy gồm \(4^ 2 =16\) biến cố:

\(\phi \){NN},{NS},{SN},{SS},{NN, NS},... ,{NN, NS, SN, SS}.

Nói chung, nếu không gian mẫu có N kết cục thì có cả thảy \(N^2\) biến cố. Một số biến cố quan tâm có thể là: A = {ngửa ở lần đầu} = { NN, NS}, B = {chỉ có 1 lần ngửa} = {NS, SN}, C = {ít nhất 1 lần ngửa} = {NN, NS, SN}.

2. Mối quan hệ giữa biến cố và phép toán trên biến cố

Không gian mẫu được chứng minh là tập hợp của các kết cục của phép thử ngẫu nhiên. Mỗi tập con của tập S sẽ được cho là một biến cố đơn vị, bản thân S đã là biến cố, gọi là biến cố chắc chắn.

Các loại biến cố:

a) Hợp các biến cố.

b) Biến cố xung khắc. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy ra và ngược lại, nếu biến cố B xảy ra thì biến cố A không xảy ra.

II. Xác suất điều kiện

Được định nghĩa như sau: Với hai biến cố A, B cho trước, trong đó P(A) # 0. Trong điều kiện xác định biến cố B khi biến cố A đã xảy ra ta gọi A là biến cố điều kiện của B, ký hiệu là P(B|A), xác định bởi công thức sau:

\(P(B|A) =\dfrac{ P(AB)}{ P(A)} , (P(A) \neq 0).\)

Định lý nhân xác suất

Nếu \(P(B) \neq 0 \ thì \ P(AB) = P(A | B). P(B)\)

Định lý nhân xác suất tổng quát

\(P (A_1 A_2 ...A_n ) =P(A _1).P(A_2|A_1).P(A_3|A_1.A_2)...P(A_n|A_1.A_2...A_{n-1})\)

Biến ngẫu nhiên:

Random variable là đại lượng tính xác suất mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả ngẫu nhiên của phép thử.

Định nghĩa. Nếu tập giá trị hữu hạn hay vô hạn đếm được thì biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc. Nếu tập giá trị lấp đầy một hoặc một số khoảng thì biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục. Thường người ta ký hiệu biễn ngẫu nhiên bởi chữ cái in hoa: X, Y, Z,… hoặc có thêm chỉ số: \(X_1 ,X _2,... \)Như vậy, biến ngẫu nhiênkhông phải là biến số độc lập, nó là hàm số; hàm này xác định trên không gian các biến cố sơ cấp S.

Xem thêm:

Hy vọng với những gì cunghovui đã chia sẻ bạn đã hiểu về công thức xác suất cũng như tự rút ra được cho bạn thân một phương pháp làm các bài tập về xác suất cho bản thân rồi. Chúc các bạn học tốt!