Lý thuyết hệ thức Vi-et ứng dụng đầy đủ nhất

Hệ thức vi-et ứng dụng là một trong những phần kiến thức quan trọng của chương IV Phương trình bậc hai một ẩn. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài lý thuyết hệ thức vi ét và ứng dụng luyện tập đầy đủ và chi tiết nhất!

A. Một số kiến thức trọng tâm cần nhớ về Hệ thức Vi-et ứng dụng 

1. Các kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-et ứng dụng

Cho một phương trình bậc hai tồn tại dưới dạng là \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện hệ số a của \(x^2\) là \(a\neq 0\). Theo hệ thức Vi-et và ứng dụng, ta có công thức sau đây:

Nếu phương trình bậc hai dạng \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) nhận \(x_{1}\), \(x_{2}\) là hai giá trị nghiệm thì suy ra:

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a}\\ x_{1}.x_{2}=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

Lấy ví dụ: Một phương trình bậc hai ở dạng \(2x^2-5x+2=0\) có \(\Delta \) = \(9\) \(>0\) nên phương trình nhận hai giá trị là nghiệm. Và áp dụng hệ thức Vi-et ta có công thức sau:

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\dfrac{5}{2}\\ x_{1}.x_{2}=\dfrac{2}{2}=1\end{matrix}\right.\)

Lưu ý: Hệ thức Vi-et và ứng dụng chỉ được áp dụng với phương trình bậc hai có hai nghiệm riêng biệt.

2. Hệ thức vi ét và ứng dụng

Cho một phương trình bậc hai tồn tại dưới dạng là \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện hệ số a của \(x^2\) là \(a\neq 0\). Theo hệ thức Vi-et và ứng dụng, ta có:

- Nếu hệ số của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) thỏa mãn điều kiện là \(a+b+c=0\) thì trong hai nghiệm của phương trình, nghiệm thứ nhất \(x_{1}\) nhận giá trị \(x_{1} = 1\) và nghiệm còn lại sẽ theo công thức \(x_{2}=\dfrac{c}{a}\).

- Nếu hệ số của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) thỏa mãn điều kiện là \(a-b+c=0\) thì trong hai nghiệm của phương trình, nghiệm thứ nhất \(x_{1}\) nhận giá trị \(x_{1} =- 1\) và nghiệm còn lại sẽ theo công thức \(x_{2}=\dfrac{-c}{a}\).

- Dạng bài toán xác định giá trị của hai số khi được biết tích và tổng của chúng: Nếu hai số có tổng các số bằng S và tích của các thừa số bằng P thì phương trình bậc hai \(X^2-SX+P=0\) với điều kiện của S và P là \(S^2\geq 4P\) nhận hai hai số đó là nghiệm của phương trình.

Ví dụ: \(2x^2-9x+7\) có các hệ số \(a+b+c \) = \(2+(-9)+7\) \(=0\) 

Vì \(a+b+c=0\) nên phương trình bậc hai \(2x^2-9x+7\) sẽ có hai nghiệm riêng biệt là \(x_{1} = 1\) và \(x_{2}=\dfrac{7}{2}\) 

B. Giải toán bài hệ thức vi ét và ứng dụng

Dạng 1: Áp dụng hệ thức Vi-ét và ứng dụng để giải phương trình bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm.

a, Cách làm 

Cho một phương trình bậc hai tồn tại dưới dạng là \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện hệ số a của \(x^2\) là \(a\neq 0\). Theo hệ thức Vi-et và ứng dụng, ta có:

- Nếu các hệ số a, b, c của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) thỏa mãn điều kiện là \(a+b+c=0\) thì trong hai nghiệm của phương trình, nghiệm thứ nhất \(x_{1}\) nhận giá trị \(x_{1} = 1\) và nghiệm còn lại sẽ theo công thức \(x_{2}=\dfrac{c}{a}\).

- Nếu các hệ số a, b, c của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) thỏa mãn điều kiện là \(a-b+c=0\) thì trong hai nghiệm của phương trình, nghiệm thứ nhất \(x_{1}\) nhận giá trị \(x_{1} =- 1\) và nghiệm còn lại sẽ theo công thức \(x_{2}=\dfrac{-c}{a}\).

b, Dùng phương pháp nhẩm nghiệm để giải một số phương trình bậc hai sau:

\(a, 3x^2 +7x-10=0\)

\(b, \sqrt{2}x^2+ 3x -\sqrt{2}+3=0\)

\(c,\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{28}=0\)

Hướng dẫn giải bài tập dạng 1:

\(a, 3x^2 +7x-10=0\) có các hệ số \(a+b+c \) = \(3+7-10=0\)  

Vì \(a+b+c=0\) nên phương trình bậc hai \(3x^2 +7x-10=0\) sẽ có hai nghiệm riêng biệt là \(x_{1} = 1\) và \(x_{2}=\dfrac{-10}{3}\) 

\(b, \sqrt{2}x^2+ 3x -\sqrt{2}+3=0\) có các hệ số \(a-b+c \) = \(\sqrt{2}-3-\sqrt{2}+3=0\)  

Vì \(a-b+c=0\) nên phương trình bậc hai \(\sqrt{2}x^2+ 3x -\sqrt{2}+3=0\) sẽ có hai nghiệm riêng biệt là \(x_{1} = -1\) và \(x_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{2-3\sqrt{2}}{2}\)

\(c,\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{28}=0\) có các hệ số \(a+b+c \) = \(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{7}+\dfrac{5}{28}=0\) 

Vì \(a+b+c=0\) nên phương trình bậc hai \(c,\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{28}=0\) sẽ có hai nghiệm riêng biệt là \(x_{1} = 1\) và \(x_{2}=\dfrac{5}{7}\) 

Dạng 2: Dạng toán xét dấu của nghiệm của các phương trình bậc hai chứa tham số

a, Cách làm

Cho một phương trình bậc hai tồn tại dưới dạng là \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện hệ số a của \(x^2\) là \(a\neq 0\). Theo hệ thức Vi-et và ứng dụng, ta có:

- Nếu muốn phương trình bậc hai cho ra hai nghiệm có dấu trái ngược nhau => \(ac<0\)

- Nếu muốn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó cùng dấu => \(\left\{\begin{matrix}\Delta >0\\ P>0 \end{matrix}\right.\)

-  Nếu muốn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó cùng lớn hơn 0 (nghiệm dương):

=> \(\left\{\begin{matrix}\Delta >0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right.\)

- Nếu muốn phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó cùng nhỏ hơn 0 (nghiệm âm):

=> \(\left\{\begin{matrix}\Delta >0\\ P>0\\ S<0 \end{matrix}\right.\)

b, Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Có một phương trình bậc hai như sau: \(x^2-2(m+1)x+m-4=0\)

a, Sáng tỏ nhận định: Không phụ thuộc vào giá trị của tham số m, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm riêng biệt.

b, Nếu muốn hai nghiệm của phương trình trái dấu thì điều kiện của tham số m là gì?

c, Không sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai, hãy xác định biểu thức liên hệ của hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải bài tập bài 1:

\(a, \Delta ' = \) \((m+1)^2-(m+4)\) = \(m^2+m+5\) = \((m+\dfrac{1}{2})^2+ \dfrac{19}{4}\) \(>0\) với mọi m 

Vì \(\Delta '>0\) với mọi giá trị của m 

=> Không phụ thuộc vào giá trị của tham số m, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm riêng biệt (điều phải chứng minh)

b, Để phương trình bậc hai \(x^2-2(m+1)x+m-4=0\) cho ra hai nghiệm có dấu trái ngược nhau

=> \(ac<0\) <=> \(m-4<0\) <=> \(m<4\)

Vậy muốn hai nghiệm của phương trình trái dấu thì điều kiện của m thỏa mãn là \(m<4\).

c, Dựa theo kết quả của ý và ý b nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2(m+1)\\ x_{1}.x_{2}=m-4\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m+2\\ x_{1}.x_{2}=m-4\end{matrix}\right.\) <=> \(x_{1}+x_{2}-2x_{1}.x_{2}=10\)

Vậy biểu thức liên hệ của hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m có dạng là \(x_{1}+x_{2}-2x_{1}.x_{2}=10\)

Bài 2: Có một phương trình bậc hai như sau: \(x^2-(2m-1)x-m=0\)

a, Sáng tỏ nhận định: Không phụ thuộc vào giá trị của tham số m, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm riêng biệt.

b, Nếu muốn phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó cùng dấu thì điều kiện của tham số m là gì?

c, Giả sử giá trị của biểu thức \((x_{1})^2+(x_{2})^2-x_{1}.x_{2}\) là max thì tham số m nhận giá trị nào?

Hướng dẫn giải bài tập bài 2:

\(a, \Delta = \) \((2m-1)^2+4m\) = \(4m^2-4m+1+4m\) = \(4m^2+1>0\) \(>0\) với mọi m 

Vì \(\Delta >0\) với mọi giá trị của m 

=> Không phụ thuộc vào giá trị của tham số m, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm riêng biệt (điều phải chứng minh)

b, Để phương trình bậc hai \(x^2-(2m-1)x-m=0\) cho ra hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó cùng dấu

=> \(\left\{\begin{matrix}\Delta >0\\ P>0 \end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix}\Delta >0 \\ P>0 \end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix}4m^2+1 >0 \\ -m>0 \end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{\begin{matrix}4m^2+1 >0 \\ m<0 \end{matrix}\right.\) <=> \(m<0\)

Vậy muốn hai nghiệm của phương trình là phân biệt và cùng dấu thì điều kiện của m thỏa mãn là \(m<0\). 

c, Vì theo kết quả của ý a, phương trình luôn có hai nghiệm riêng biệt nên áp dụng hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai \(x^2-(2m-1)x-m=0\), ta có:

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1-2m\\ x_{1}.x_{2}=-m\end{matrix}\right.\)

Theo dữ kiện đề bài: \((x_{1})^2+(x_{2})^2-x_{1}.x_{2}\) = \((x_{1}+x_{2})^2-3x_{1}.x_{2}\)

<=> \((x_{1})^2+(x_{2})^2-x_{1}.x_{2}\) = \((1-2m)^2+3m\) = \(1-4m+4m^2+3m\) = \(4m^4-m+1\)  

<=> \((x_{1})^2+(x_{2})^2-x_{1}.x_{2}\) = \((2m-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{15}{16}\) \(\geq \dfrac{15}{16}\)

Vậy giá trị của biểu thức \((x_{1})^2+(x_{2})^2-x_{1}.x_{2}\) có max = \(\dfrac{15}{16}\) khi \((2m-\dfrac{1}{4})^2\) = 0

<=> \(m=\dfrac{1}{8}\)

Dạng 3: Dạng toán về tính các giá trị biểu thức liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai.

a, Cách làm

Cho một phương trình bậc hai tồn tại dưới dạng là \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện hệ số a của \(x^2\) là \(a\neq 0\) và có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi, xác định biểu thức giữa các nghiệm theo tổng là \(x_{1}+x_{2}\) và \(x_{1}.x_{2}\)

Lưu ý: Một số biểu thức đối xứng các nghiệm hay được sử dụng trong các bài toán dạng về tính các giá trị biểu thức liên quan đến các nghiệm của phương trình bậc hai là:

- \((x_{1})^2+(x_{2})^2\) = \((x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}\) = \(S^2-2P\)

- \((x_{1}-x_{2})^2\) = \((x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}.x_{2}\) = \(S^2-4P\)

-  \((x_{1})^4+(x_{2})^4\) = \((x_{1}^2+x_{2}^2)^2-2(x_{1}.x_{2})^2\) 

= \([(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}]^2\) - \(2(x_{1}.x_{2})^2\) = \(\)\((S^2-2P)^2-2P^2\)

- \((x_{1})^3+(x_{2})^3\) = \((x_{1}+x_{2})^3-2x_{1}.x_{2}(x_{1}+x_{2})\) = \(S^3-3SP\)

b, Một số bài tập áp dụng

Cho phương trình bậc hai có dạng \(x^2-(2m-1)x-m=0\). Hãy tính giá trị của các biểu thức sau đây khi nhận giá trị \(m = 2\)

\(a, (x_{1})^2+(x_{2})^2\)

\(b, (x_{1})^3+(x_{2})^3\)

\(c,(x_{1})^4+(x_{2})^4\)

Hướng dẫn giải bài tập dạng 3:

\( \Delta = \) \((2m-1)^2+4m\) = \(4m^2-4m+1+4m\) = \(4m^2+1>0\) \(>0\) với mọi m 

Vì \(\Delta >0\) với mọi giá trị của m 

=> Không phụ thuộc vào giá trị của tham số m, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm riêng biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1-2m\\ x_{1}.x_{2}=-m\end{matrix}\right.\)

\(a, (x_{1})^2+(x_{2})^2\) = \((x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}\) = \(S^2-2P\) = \((1-2m)^2+3m\)

Thay \(m = 2\) vào biểu thức \((1-2m)^2+3m\) ta được \((x_{1})^2+(x_{2})^2\) = \((-3)^2+6 \) = \(15\)

\(b, (x_{1})^3+(x_{2})^3\) = \((x_{1}+x_{2})^3-2x_{1}.x_{2}(x_{1}+x_{2})\) 

= \(S^3-3SP\) = \((1-2m)^3+3m(1-2m)\)

Thay \(m = 2\) vào biểu thức \((1-2m)^3+3m(1-2m)\) ta có: \((x_{1})^3+(x_{2})^3\) = \((-3)^3+6.(-3)\) = \(-9\)

\((x_{1})^4+(x_{2})^4\) = \((x_{1}^2+x_{2}^2)^2-2(x_{1}.x_{2})^2\) 

= \([(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}]^2\) - \(2(x_{1}.x_{2})^2\) = \(\)\((S^2-2P)^2-2P^2\)

= \([ (1-2m)^2+2m]^2-2(-m)^2\) = \([ (1-2m)^2+2m]^2-2m^2\)

Thay \(m = 2\) vào biểu thức \([ (1-2m)^2+2m]^2-2m^2\) ta có:

\((x_{1})^4+(x_{2})^4\) = \( [ (-3)^2+4]^2-2.2^2\) = 161

Tham khảo thêm >>> Giải toán bài hệ thức vi ét và ứng dụng (sách giáo khoa)

Với bài viết hệ thức vi-et ứng dụng, Cunghocvui đã đem lại cho các bạn bài viết chi tiết nhất. Nếu có đóng góp gì cho bài viết hệ thức vi ét và ứng dụng, hãy để lại comment nhé!