Đăng ký

Lý thuyết đường kính và dây của đường tròn chi tiết nhất

Đường kính và dây của đường tròn là một trong những kiến thức cơ bản của chương II hình học  Toán 9 nghiên cứu về Đường tròn. Cùng Cunghocvui tìm hiểu về lý thuyết và các bài tập về đường kính và dây của đường tròn qua bài viết này. Hy vọng nó hữu ích với các bạn!

A. Các lý thuyết cần nhớ về đường kính và dây của đường tròn

1. So sánh độ dài của đường kính và độ dài của dây 

Xét về yếu tố độ dài của các dây trong đường tròn, đường kính là một dây đặc biệt, đi qua tâm đường tròn và có độ dài lớn nhất.

2. Xét yếu tố vuông góc giữa các dây và đường kính. 

- Xét trong phạm vi một đường tròn, nếu đường kính tạo với dây một góc có độ lớn bằng 900 thì trung điểm của dây đó thuộc đường kính hay nói cách khác là đường kính qua trung điểm của dây. 

- Xét trong phạm vi một đường tròn, nếu trung điểm của một dây cung (dây cung không đi qua tâm đường tròn) mà thuộc đường kính thì dây cung đó tạo với đường kính một góc có độ lớn bằng 900

3. Mối tương quan giữa dây cung và độ dài khoảng cách từ dây cung đến tâm

Các tính chất về hai dây cung trong phạm vi một đường tròn như sau:

- Nếu hai dây cung có độ dài khoảng cách giữa hai đầu mút bằng nhau thì khoảng cách từ hai dây cung đó đến đường tròn là bằng nhau. Điều này cũng đúng trong trường hợp ngược lại, có nghĩa là nếu khoảng cách từ hai dây cung đến đường tròn là bằng nhau thì độ dài hai dây cung đó là bằng nhau.

- Nếu độ dài của dây cung nào lớn hơn thì khoảng cách từ dây cung đó đến tâm nhỏ hơn hay nói cách khác là tâm gần dây cung đó hơn. Điều này cũng đúng trong trường hợp ngược lại, có nghĩa là nếu tâm đường tròn gần dây cung nào hơn thì dây đó có độ dài lớn hơn.

B. Giải toán bài đường kính và dây của đường tròn

Dạng 1: So sánh hoặc chứng minh hai dây cung bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn.

a, Các phương pháp so sánh hoặc chứng minh

- Dùng các tính chất về hai dây cung trong phạm vi một đường tròn theo mục 2

- Sử dụng các phương pháp chứng minh hai tam giác, mối tương quan giữa các yếu tố trong tam giác.

b, Một số bài tập áp dụng 

Bài 1: Cho một đường tròn, O là tâm đường tròn, một đường kính với hai đầu A và B với một dây cung CD không giao với đường kính AB. Từ điểm A kẻ AH sao cho đoạn thẳng AH tạo với đoạn thẳng CD một góc có độ lớn bằng 900 (H thuộc CD kéo dài) và tương tự với đoạn thẳng BK xuất phát từ điểm B (K thuộc CD kéo dài). Hãy sáng tỏ CH=DK?

Hướng dẫn giải bài tập

bài tập dường kính và dây trong đường tròn

Xuất phát từ trung điểm O của đường tròn, kẻ OMCD (CD nhận M làm trung điểm) => OM//AH//BK (cùng tạo với CD một góc bằng 900)

Trong hình thang AHKB có OM//AH và OA=OB

=> Hình thang AHKB nhận OM là đường trung bình => MH=MK

Vì OMCD nên MC=MD

Ta có: CH = HMCM

          DK = MKMD

=> CH=DK

Bài 2: Cho một đường tròn, O là tâm đường tròn, một đường kính với hai đầu A và B với một dây cung CD giao cắt với đường kính AB tại điểm M (CD nhận M làm trung điểm). Hãy làm sáng tỏ rằng tam giác BCD là một tam giác đều.

Hướng dẫn giải bài tập: 

bài tập đường kính và dây của đường tròn

Vì CD nhận M làm trung điểm nên CMAB 

=> CM có hai chức năng, vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ACO 

=> ΔACO là một tam giác cân tại đỉnh C (1)

Mặt khác, cũng xét trong tam giác ACO có OC=OA=R (vì hai điểm A và C cùng thuộc đường tròn) 

=> ΔACO là một tam giác cân tại đỉnh O (2)

Từ (1) và (2) => ΔACO là một tam giác đều (vì có hai góc ACO^ và AOC^ bằng nhau).

Theo dữ kiện đề bài ta có: Vì điểm C thuộc đường tròn tâm O nên ACB^=900 (góc chắn nửa đường tròn)

Mà ACD^=ACO^+OCD^ => OCD^ = ACD^ACO^ = 900600=300

=> CBD^=600 (vì CBD^ nhận AB là tia phân giác)

Tương tự với góc ABD^=300

Xét trong phạm vi của tam giác CBD có BM vừa nhận chức năng là đường phân giác, vừa nhận chức năng là đường cao hạ từ đỉnh B 

=> ΔBCD là một tam giác cân tại đỉnh B 

Kết hợp hai điều kiện là ΔBCD là một tam giác cân tại đỉnh B và CBD^=600

=> ΔBCD là tam giác đều (điều phải chứng minh).

Dạng 2: Xác định độ lớn của đoạn thẳng và các yếu tố khác

a, Phương pháp xác định độ lớn và các yếu tố

- Sử dụng tính chất quan hệ giữa đường kính và các dây cung trong phạm vi một đường tròn.

- Sử dụng các công thức của hệ thức lương, định lý Py-ta-go dùng trong tam giác vuông.

b, Một số bài tập áp dụng

Bài 1: Cho một đường tròn, O là tâm đường tròn, một đường kính AB  với một dây cung CD giao cắt với đường kính AB tại điểm M (CD nhận M làm trung điểm). Qua M lấy E đối xứng với A. Hỏi:

a, ACED thuộc hình gì? Giải thích lý do?

b, Giả sử bán kính đường tròn có độ lớn bằng 6,5cm và độ dài đoạn thẳng MA là 4cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng CD?

Hướng dẫn giải bài tập:

bài tập đường kính và dây của đường tròn

a, Vì CD tạo với đường kính AB một góc có độ lớn bằng 900 và CD nhận M làm trung điểm 

=> MC=MD

Qua điểm M, E đối xứng với A => ME=MA

Xét trong tứ giác ACED có AE và CD là hai đường chéo, ta có:

AECD

CM=MDAM=ME

=> Tứ giác ACED là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo)

b, Vì điểm C thuộc đường tròn tâm O nên ACB^=900 (góc chắn nửa đường tròn)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với ΔACB ta có:

MC2=MA.MB = MA.(ABMA) => MC2=4.(2.6,64)=36

=> MC=36=6(cm)

Vì M là trung điểm của CD => CD = 2.MC = 2.6=12 (cm)

Bài 2: Cho một đường tròn, O là tâm đường tròn với độ dài bánh kính là 25cm, một dây cung AB có độ dài là 40cm. Trong phạm vi đường tròn, kẻ một dây cung CD với điều kiện là CD//AB và cách AB một khoảng bằng 22cm. Hỏi dây CD có độ dài bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải bài tập: 

bài tập đường kính và dây của đường tròn

Ta có: Trong tam giác OHB có H^=900, sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông:

OH2=OB2HB2 = 252202=225 => OH=225=15 (cm)

Lại có: OK=HKOH => OK=2215=7(cm)

Trong tam giác OKD có K^=900, sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông:

KD2=OD2OK2 = 25272=576 => KD=576=24 (cm)

Vì K là trung điểm của đoạn thẳng CD nên CD=2.KD => CD=2.24=48(cm)

Tham khảo thêm >>> Giải toán 9 Đường kính và dây của đường tròn (sách giáo khoa)

Cunghocvui đã gửi tới các bạn bài lý thuyết và dạng các bài tập về đường kính và dây của đường tròn thông qua bài viết đường kính và dây của đường tròn. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì về bài viết toán 9 đường kính và dây của đường tròn, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!