Câu 60 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.\)

Có liên tục trên \(\mathbb R\) không ?

Hướng dẫn giải

Hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x ≠ -2\).

Với \(x ≠ -2\), ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3 = f\left( { - 2} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại \(x = -2\), do đó f liên tục trên \(\mathbb R\).