Câu 56 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm các giới hạn của các dãy số (u­­_n) với :

a.  \({u_n} = \sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} \)

b.  \({u_n} = {{{4^n} - {5^n}} \over {{2^n} + {{3.5}^n}}}\)

Hướng dẫn giải

a.

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} } \right) \cr
& = \lim {{3n - 1 - \left( {2n - 1} \right)} \over {\sqrt {3n - 1} + \sqrt {2n - 1} }}\cr & = \lim {n \over {\sqrt n \left( {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} } \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt n } \over {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} }} = + \infty \cr
& \text{ vì }\,\lim \sqrt n = + \infty \cr &\text{ và }\,\lim \left( {\sqrt {3 - {1 \over n}} + \sqrt {2 - {1 \over n}} } \right) = \sqrt 3 + \sqrt 2 > 0 \cr} \)

b. Chia cả tử và mẫu của u_n cho 5ⁿ ta được :

\(\lim {u_n} = \lim {{{{\left( {{4 \over 5}} \right)}^n} - 1} \over {{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 3}} = - {1 \over 3}\)

Vì \(\lim {\left( {{2 \over 5}} \right)^n} = 0; \lim {\left( {{4 \over 5}} \right)^n} = 0\)