Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học

Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp là một chuyên đề tưởng khá thú vị, hơn nữa nó cần sự tinh tế nhất định trong cách xử lý bài toán. Các phần công thức và bài toán có lời giải dưới đây chúng tôi xin được gửi tặng các bạn đang yếu phần này và có nhu cầu học bổ trợ để nâng cao kiến thức chuyên đề Tổ hợp xác suất. Các bài tập trong tài liệu được phân dạng rất rõ ràng nên các em dễ dàng tiếp cận và học nhanh. Hi vọng mọi người đều giỏi lên sau khi đọc xong chuyên đề này nhé!

I. Định nghĩa

1. Hoán vị là gì?

Trong toán học, đặc biệt là trong đại số trừu tượng và các lĩnh vực có liên quan, một hoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó.

Trong lý thuyết tổ hợp, khái niệm hoán vị cũng mang một ý nghĩa truyền thống mà nay ít còn được dùng, đó là mô tả một bộ có thứ tự không lặp

Khái niệm hoán vị diễn tả ý tưởng rằng những đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau và được định nghĩa như sau:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ: Với tập hợp gồm các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một số các hoán vị như thế là: "1, 2, 3, 4, 5, 6", "3, 4, 6, 1, 2, 5", "2, 1, 4, 6, 5, 3", v..v.

Một số hoán vị đặc biệt:

• Hoán vị vòng
• Hoán vị chẵn và lẻ
• Hoán vị Josephus
• Nhóm đối xứng
• Nhóm hoán vị

2. Chỉnh hợp là gì?

Trong toán học, chỉnh hợp 

là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau:

\({\displaystyle A(n,k)=A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}}\)

Ví dụ với tập hợp E = {a, b, c, d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E là: \({\displaystyle A_{4}^{3}=24.}\)

3. Tổ hợp là gì?

Tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.

Mới nhất: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết về tổ hợp

4. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị

Nội dung	Tổ hợp	Chỉnh hợp	Hoán vị
Công thức	\(C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\)	\(A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}=k!C^k_n\)	\(P_n=n!=(n-k)!A^k_n\)
Tính chất	Đổi chỗ phần tử không ảnh hưởng đến kết quả	Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả	Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả
Bài tập phân biệt	Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.	Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.	Có bao nhiêu tập hợp gồm 4 chữ số khác nhua được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4.

II. Công thức chỉnh hợp

1. Chỉnh hợp không lặp:

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A ( \(1\le k\le n\)) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

\(A^k_n=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

Khi k = n thì \(A^n_n=p_n=n!\)

2. Chỉnh hợp lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:

\(A^k_n=n^k\)

III. Công thức tổ hợp

1. Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( \(1\le k\le n\)) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A.

Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau.

Công thức tính tổ hợp chập k của n:

\({\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}}}\)

Công thức trên có thể viết dưới dạng giai thừa \({\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\), trong đó \({\displaystyle k\leq n}\), và kết quả là 0 khi \( {\displaystyle k>n}\). Tập hợp tất cả các tổ chập k của tập S thường được ký hiệu là \({\displaystyle {\binom {S}{k}}\,}\)

Cách tính tổ hợp

\(C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\)

Tính chất:

• \(C^0_n=C^n_n=1\)
• \(C^k_n= C^{n-k}_n\)
• \(C^k_n=C^{k-1}_{n-1}+C^k_{n-1}\)
• \(C^k_n=\dfrac{n-k+1}{k}C^{k-1}_n\)

2. Tổ hợp lặp:

Cho tập \(A = {a_1,a_2,...,a_n}\)và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

\(C^k_n=C^k_{n+k-1}= C^{m-1}_{n+k-1}\)

Quan tâm: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - lý thuyết quy tắc nhân

III. Bài tập về quy tắc đếm có đáp án

Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?

Lời giải: Ta có:

Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách. Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.

Xem ngay:

• Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết chỉnh hợp
• Câu hỏi 1 trang 47 SGK Đại số
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Toán lớp 11

Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Lời giải:

a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4}\). Để có số n ta phải chọn đồng thời \(a_1\), \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\) trong đó:

• \(a_1\) có 6 cách chọn
• \(a_2\) có 5 cách chọn
• \(a_3\) có 4 cách chọn
• \(a_4\) có 3 cách chọn

Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm.

b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\) trong đó:

• \(a_5\) chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)
• \(a_1\) có 5 cách chọn
• \(a_2\) có 4 cách chọn
• \(a_3\) có 3 cách chọn
• \(a_4\) có 2 cách chọn

Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số.

Bài 3: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau
Lời giải:

1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\)

• \(a_1\) có 6 cách chọn(vì a1 ≠ 0)
• \(a_2\) có 6 cách chọn
• \(a_3\) có 5 cách chọn
• \(a_4\) có 4 cách chọn
• \(a_5\) có 3 cách chọn

Vậycó 6.6.5.4.3 = 2160 số
2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2, 5 đứng cạnh nhau.
Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số

Trường hợp 1: \(a_1\)= a

• \(a_2\) có 5 cách chọn
• \(a_3\) có 4 cách
• \(a_4\) có 3 cách

Vậy có 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2: \(a_1\) ≠ a nên 

• \(a_1\) có 4 cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5)
• có 3 vị trí cho số a giả sử \(a_2\) = a
• \(a_3\) có 4 cách
• \(a_4\) có 3 cách

Vậy có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số.
Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách.

Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp. Nếu có thắc mắc hay tài liệu tham khảo thú vị vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho các bạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu ích này sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!