Lý thuyết chung về đa thức và tài liệu ôn thi hay nhất

Trong toán học, đa thức là một phần lý thuyết cơ bản quan trọng mà các bạn đã được tiếp xúc từ rất sớm, đa thức trên một vành (hoặc trường) K là một biểu thức dưới dạng tổng đại số của các đơn thức. Bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về những lý thuyết chung nhất về đa thức nhằm hiểu rõ bản chất của khái niệm này nhé. Mời các bạn cùng theo dõi!

I. Khái niệm về đa thức

Đa thức là gì?

Trong chương trình giáo dục phổ thông, thường xét các đa thức trên trường số thực, trong những bài toán cụ thể có thể xét các đa thức với hệ số nguyên hoặc hệ số hữu tỷ.

Cụ thể \(f (x, y, z) = ax+by+cz\)được coi là một đa thức, với x, y và z là các biến.

Hàm số biểu diễn bởi một đa thức được gọi là hàm đa thức. Phương trình P = 0 trong đó P là một đa thức được gọi là phương trình đại số.

 Nghiệm của đa thức?

Các bài toán đầu tiên về đa thức là tìm các nghiệm của đa thức, cũng là nghiệm của phương trình đại số vì nếu ta có x là nghiệm của đa thức f(x) làm cho đa thức này bằng không, do đó x là nghiệm của phương trình f(x).

Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức sau đây:

\(x^3+2x^2-x-2=0\)

\(\leftrightarrow (x^3+2x^2)-(x+2)=0\)

\(\leftrightarrow x^2(x+2)-(x+2)=0\)

\(\leftrightarrow (x^2-1)(x+2)=0\)

\(\leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}x^2-1=0\leftrightarrow x^2=1\leftrightarrow x=+-1\\x+2=0\leftrightarrow x=-2\end{array}\right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm là x = {-2; -1; 1}.

Biến?

Cho \(F(x)=(x_1,x_2,...,x_m)\), ta gọi x là biến của phương trình F(x) hay còn nói F(x) có m biến x.

II.  Cộng trừ đa thức

Công đa thức

Muốn cộng hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước:

• Viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức đó cùng với dấu của chúng.
• Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).

Trừ đa thức

Muốn trừ hai đa thức ta có thể lần lượt thực hiện các bước:

• Viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng.
• Viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại.
• Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).

III. Nhân chia đa thức

Nhân đơn thức với đa thức

Ta thực hiện nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức sau đó cộng tổng lại với nhau.

Công thức: \(A(B+C)=AB+BC\)

Ví dụ: \(x(2x+1)=2x^2+x\)

Tham khảo thêm tài liệu Nhân đơn thức với đa thức

Nhân đa thức với đa thức

Ta thực hiện nhân lần lượt từng hạng tử của đa thức này với các hạng tử của đa thức kia, sau đó cộng tổng lại với nhau

Công thức: \((A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD\)

Ví dụ: \((x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2\)

Tham khảo thêm tài liệu Nhân đa thức với đa thức

Chia đa thức cho đơn thức

Ta thực hiện chia lần lượt từng hạng tử của đa thức cho đơn thức sau đó cộng tổng lại với nhau. Để hiểu rõ hơn mời bạn tham khảo ví dụ sau đây:

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: \((a^2b−3ab^2):(\dfrac{1}{2}ab)+(6b^3−5ab^2):b^2.\)
\((a^2b−3ab^2):(\dfrac{1}{2}ab)+(6b^3−5ab^2):b^2 =2a−6b+6b−5a=−3a.\)

 

Tham khảo thêm tài liệu Chia đa thức với đơn thức

Chia đa thức cho đa thức

Ta thực hiện sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến, sau đó thực hiện phép chia. Để hiểu rõ hơn về phương pháp làm mời các bạn tham khảo ví dụ sau đây:

Ví dụ: \((2x^4−3x^3−3x^2−2+6x):(x^2−2)\)

Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên.

- Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

- Áp dụng qui tắc chia hai đa thức 1 biến đã sắp xếp.

 Ví dụ:  \((x^3−7x+3−x^2):(x−3)\)

Để luyện tập thêm các bài tập dạng này bạn có thể tham khảo thêm các bài tập đã có lời giải sau đây: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức

Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bảng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử với nhau. \(AB+AC=A(B+C)\)

Bài tập: Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:

a) \(x^2 – x\)

b) \(5x^2(x – 2y) – 15x(x – 2y)\)

c) \(3(x – y) – 5x(y – x)\)

Hướng dẫn giải

a) \(x^2 - x = x.x - x.1 = x(x - 1)\)

b) \(5x^2 (x – 2y)– 15x(x – 2y) = x.5x(x - 2y) - 3.5x(x - 2y) = (x - 3).5x(x - 2y)\)

c) \(3(x – y)– 5x(y – x) = 3(x - y) + 5x(x - y) = (3 + 5x)(x - y)\)

Tham khảo thêm các bài tập liên quan tại Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Hy vọng rằng những kiến thức tổng hợp trên sẽ giúp bạn hình dung rõ ràng lý thuyết về đa thức và các phương pháp làm các dạng bài tập liên quan. Ngoài ra để củng cố thêm việc học các bạn nên dành thời gian để luyện tập thêm nhằm ghi nhớ các công thức cần thiết. Chúc các bạn thành công!